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\(f:x \to p\) \(f:x \to \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {P\left( {X = {x_i}} \right)}&{für\, \, x = {x_i}}\\ 0&{für\, \, \, x \ne {x_i}} \end{array}} \right. \) Funktionsgraph der Wahrscheinlichkeitsfunktion Im Funktionsgraph der Wahrscheinlichkeitsverteilung werden über jedem (diskreten) Wert x die jeweilige Wahrscheinlichkeit P(X=x) dargestellt, wobei die einzelnen Wahrscheinlichkeiten P(X=x) mit Hilfe der Laplace-Wahrscheinlichkeit berechnet werden. Im Stabdiagramm wird über jedem (diskreten) Wert x ein Stab (dünner Balken) aufgetragen, dessen Höhe der jeweilige Wahrscheinlichkeit P(X=x) entspricht. Zufallsvariablen | MatheGuru. Strecke f Strecke f: Strecke A, B Strecke g Strecke g: Strecke C, D Strecke h Strecke h: Strecke E, F P(1)=0, 3 Text1 = "P(1)=0, 3" P(2)=0, 5 Text2 = "P(2)=0, 5" P(3)=0, 2 Text3 = "P(3)=0, 2" P(x) Text4 = "P(x)" x Text5 = "x" Verteilungsfunktion Die Verteilungsfunktion einer diskreten Zufallsvariablen, auch kumulative Verteilfunktion genannt, gibt die Wahrscheinlichkeit dafür an, dass die Zufallsvariable X höchstens den Wert x annimmt.
1 / Wahrscheinlichkeitsfunktion 2) Verteilungsfunktion $$ \begin{equation*} F(x) = \begin{cases} 0 & \text{für} x < 1 \\[5px] \frac{1}{6} & \text{für} 1 \le x < 2 \\[5px] \frac{2}{6} & \text{für} 2 \le x < 3 \\[5px] \frac{3}{6} & \text{für} 3 \le x < 4 \\[5px] \frac{4}{6} & \text{für} 4 \le x < 5 \\[5px] \frac{5}{6} & \text{für} 5 \le x < 6 \\[5px] 1 & \text{für} x \ge 6 \end{cases} \end{equation*}$$ Merke: $F(x) = P(X \le x)$ Abb. 2 / Verteilungsfunktion Sowohl die Wahrscheinlichkeitsfunktion als auch die Verteilungsfunktion beschreiben die Wahrscheinlichkeitsverteilung einer diskreten Zufallsvariable vollständig. Diskrete zufallsvariable aufgaben von orphanet deutschland. Häufig ist eine vollständige Beschreibung der Verteilung gar nicht notwendig: Um sich einen groben Überblick über eine Verteilung zu verschaffen, betrachtet man einige charakteristische Maßzahlen. Dazu zählen u. a. der Erwartungswert, die Varianz und die Standardabweichung. Überblick Entstehung durch Zählvorgang Beispiel Anzahl defekter Artikel in einer Stichprobe Wahrscheinlichkeitsverteilung - Wahrscheinlichkeitsfunktion - Verteilungsfunktion Maßzahlen - Erwartungswert $$\mu_{X} = \textrm{E}(X) = \sum_i x_i \cdot P(X = x_i)$$ - Varianz $$\sigma^2_{X} = \textrm{Var(X)} = \sum_i (x_i - \mu_{X})^2 \cdot P(X = x_i)$$ - Standardabweichung $$\sigma_{X} = \sqrt{\textrm{Var(x)}}$$ Zurück Vorheriges Kapitel Weiter Nächstes Kapitel
Merkregel: "Was passiert" mal "mit welcher Wahrscheinlichkeit passiert es". \(E\left( X \right) = \mu = {x_1} \cdot P\left( {X = {x_1}} \right) + {x_2} \cdot P\left( {X = {x_2}} \right) +... + {x_n} \cdot P\left( {X = {x_n}} \right) = \sum\limits_{i = 1}^n {{x_i} \cdot P\left( {X = {x_i}} \right)} \) Der Erwartungswert ist ein Maß für die mittlere Lage der Verteilung, und somit ein Lageparameter der beschreibenden Statistik. Ist die Wahrscheinlichkeit für jeden Versuch die selbe (z. B. bei binomialverteilten Experimenten), dann ist der Erwartungswert gleich dem arithmetischen Mittel. Ist die Wahrscheinlichkeit für jeden Versuch unterschiedlich, dann ist der Erwartungswert gemäß obiger Formel ein gewichtetes arithmetisches Mittel. Physikalische Analogie Physikalisch entspricht der Erwartungswert dem Schwerpunkt. Man muss sich dabei die Massen R(X=x i) an den Positionen x i entlang vom Zahlenstrahl x plaziert vorstellen. Stetige Zufallsvariable bzw. Zufallsgröße und Wahrscheinlichkeitsdichte. Physikalisch entspricht die Varianz dem Trägheitsmoment, wenn man den oben beschriebenen Zahlenstrahl um eine Achse dreht, die senkrecht auf den Zahlenstrahl steht und die durch den Schwerpunkt verläuft.
Nur wenige sind extrem groß oder extrem klein, sodass sich die charakteristische glockenförmige Verteilung ergibt, da nach außen hin die Dichte abnimmt. Beliebte Inhalte aus dem Bereich Wahrscheinlichkeitsrechnung
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