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04. 09. 2012, 18:07 skywalker123 Auf diesen Beitrag antworten » Windschiefe Geraden - minimaler Abstand Meine Frage: Hallo, ich wollte mal fragen, ob mir einer erklären kann, wie man im Allgemeinen den minimal Abstand von zwei windschiefen Vektoren ausrechnet? Wäre auch top, wenn jemand auch gleich ein Beispiel machen könnte. Vielen Dank Meine Ideen: keine Idee, wollte aber auch erst eine allgemeine Erklärung haben 04. 2012, 19:21 opi Die Frage ist sehr allgemein gehalten und leider gibst Du auch nicht an, wie groß Dein Kenntnisstand im Bereich der analytischen Geometrie bereits ist. Hier findest Du einen Rechenweg. Abstand windschiefer Geraden: Lotfußpunkte mit laufenden Punkten (Beispiel). Wenn sich konkrete Fragen ergeben, kannst Du sie danach gerne stellen. Vektoren können nicht windschief sein, Du meinst sicher Geraden. Ich habe den Titel geändert. 04. 2012, 19:57 Skywalker123 Minimaler Abstand ich habe das noch nie ausgerechnet. Aber wir müssen das an einer Aufgabe anwenden. Könntest du mir das an einem kleinen Beispiel berechnen? (so lerne ich am besten) Wäre echt super Danke 04.
Hallo, Wir sollen den minimalen Abstand zwischen der Parabel f(x)=x^2 und der Geraden y=2x-2 berechnen. Ich weiß, dass ich mir erst einen Punkt auf der Parabel mit dem geringsten Abstand zur Geraden suchen muss. Aber wie bekomme ich diesen? Und ich wie gehe ich dann weiter vor? Junior Usermod Community-Experte Schule, Mathematik Hallo, am nächsten kommen sich Gerade und Parabel an der Stelle, an der die Parabel die gleiche Steigung wie die Gerade besitzt (wenn sich Parabel und Gerade nicht schneiden, was durch Gleichsetzen zunächst ausgeschlossen werden muß). Minimaler Abstand zweier windschiefer Geraden | Mathelounge. Eine Senkrechte zur Geraden hat als Steigung den negativen Kehrwert der Geraden, hier also -0, 5 Du setzt also die erste Ableitung der Parabel auf 2. Der Punkt, den Du so findest, muß auf der Senkrechten zur Geraden liegen. Entsprechend also die Senkrechte bei gegebener Steigung -0, 5 bestimmen. Danach den Schnittpunkt der Senkrechten mit der Geraden durch Gleichsetzen bestimmen. Die Koordinaten beider Punkte voneinander subtrahieren und von der Differenz den Betrag ermitteln (Wurzel aus der Summe der Quadrate der Komponenten).
Die Formel für den Abstand windschiefer Geraden liefert nur die minimale Entfernung, gibt aber keine Auskunft darüber, in welchen Punkten der Geraden der Abstand angenommen wird. Die Fußpunkte erhält man mit einem Lotfußpunktverfahren. Auf dieser Seite arbeiten wir mit der Methode der "laufenden Punkte" (allgemeine Punkte der Geraden), die ohne vorherige Berechnung eines Normalenvektors auskommt. Das Verfahren mit einer Hilfsebene finden Sie hier. Minimaler Abstand zweier windschiefer Geraden. Vorgehensweise: Abstand windschiefer Geraden mit laufenden Punkten Gegeben seien zwei windschiefe Geraden $g\colon \vec x=\vec p+r\, \vec u$ und $h\colon \vec x=\vec q+s\, \vec v$. Die Punkte $F_g$ und $F_h$ seien die Fußpunkte des gemeinsamen Lotes. Die hellgrauen Hilfsebenen sollen nur das räumliche Vorstellungsvermögen unterstützen und haben für die Rechnung keine Bedeutung. Die Verbindungslinie $\overrightarrow{F_gF_h}$ muss auf beiden Geraden und somit auf beiden Richtungsvektoren senkrecht stehen. Wir müssen daher fordern, dass die jeweiligen Skalarprodukte Null ergeben.
Genauso verhält es sich natürlich, wenn die Gerade als Seilbahn und die gekrümmte Funktion als Bodenprofil einer Landschaft interpretiert wird. Gefragt ist dann nach der maximalen Höhe der Seilbahn über dem Boden. Es ist extrem selten, dass es mehrere lokale Extrema gibt. In diesem Fall müsste man wie bei den Randextrema immer auf die richtige Reihenfolge beim Subtrahieren achten. Es ist leider kein Ausweg, von Beginn an den Betrag zu nehmen, wie Sie es vielleicht von anderen Aufgabentypen kennen. Man handelt sich damit eine mindestens ebenso große, wenn nicht größere Schwierigkeit ein: bei der Ableitung von Betragsfunktionen muss man eine Fallunterscheidung machen. Es wird also eher unbequemer als angenehmer. Letzte Aktualisierung: 02. 12. 2015; © Ina de Brabandt Teilen Info Bei den "Teilen"-Schaltflächen handelt es sich um rein statische Verlinkungen, d. h. sie senden von sich aus keinerlei Daten an die entsprechenden sozialen Netzwerke. Erst wenn Sie einen Link anklicken, öffnet sich die entsprechende Seite.
Dieser Betrag ist der Abstand. Herzliche Grüße, Willy Abstand = 1 / sqrt(5), wenn ich mich nicht verrechnet habe Der Punkt auf der Parabel mit der gleichen Steigung wie die Gerade ist der heiße Tipp. im Anhang noch ein Bild zur Verdeutlichung. Willy
Um den bei parallelen Geraden zu bestimmen sucht man sich einfach einen Punkt, der auf einer der Geraden liegt und bestimmt den Abstand dieses Punktes von der anderen Geraden. Die Geraden liegen windschief zueinander: Das ist der wohl schwerste Fall. Grob gesagt bildet man aus den Richtungsvektoren beider Geraden eine Ebene, die in einer der beiden Geraden liegt. Dann errechnet man den Abstand der anderen Geraden zu dieser Ebene. Das Ergebnis ist der kürzeste Abstand zwischen beiden Geraden. 2. Geraden schneiden sich Wie schon oben gesagt, bedarf das keiner speziellen Rechnung und der Abstand ist immer Null. Um herauszufinden ob sich beide Geraden schneiden setzt man sie einfach wie üblich gleich. 3. Geraden liegen parallel Liegen zwei Geraden parallel zueinander, so kann man den Abstand ausrechnen, indem man sich auf der einen Geraden einen Punkt nimmt und den Abstand von diesem Punkt zur anderen Geraden ausrechnet. Traditionell bietet es sich dafür an, den Stützvektor einer der beiden Geraden zu nehmen.
Bitte beachte unser Boardprinzip. @HAL: Die Frage nach dem "Wann" hätte ich gestern fast direkt beantwortet. Und mir anschließend eine Verwarnung wegen meines Umgangstones gegeben.