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Ich habe eine Aufgabe, die ich leider nicht zu lösen weiß.. könnt ihr mir den Lösungsweg aufschreiben? :/ (a^27+a^17)% a^15 Vielen Dank:) Bei Potenzen sind folgende 5 Potenzgesetze wichtig: 1. Potenzgesetz: Potenzen mit gleicher Basis werden multipliziert, indem man die Exponenten addiert und die gemeinsame Basis beibehält. 5^3 * 5^4 = 5^(3+4) = 5^7 2. Potenzgesetz: Potenzen mit gleicher Basis werden dividiert, indem man die Exponenten subtrahiert und die gemeinsame Basis beibehält. 5^7: 5^4 = 5^(7-4) = 5^3 3. Potenzgesetz: Potenzen mit gleichen Exponenten werden multipliziert, indem man die Basen multipliziert und den gemeinsamen Exponenten beibehält. 2^4 * 3^4 = (2*3)^4 = 6^4 4. Potenzgesetz: Potenzen mit gleichen Exponenten werden dividiert, indem man die Basen dividiert und den gemeinsamen Exponenten beibehält. 3^4: 2^4 = (3:2)^4 = 1, 5^4 5. Potenzgesetz: Eine Potenz wird potenziert, indem man die Exponenten multipliziert und die Basis beibehält. (5²)³ = 5^(2*3) = 5^6 Dazu gibt es noch eine Vorzeichenregel.
Kürzen wir diese gegeneinander weg, erhalten wir folgendes: $\frac{2^6}{2^3} = \frac{ \not{2} \cdot \not{2} \cdot \not{2} \cdot 2\cdot 2\cdot 2}{\not{2} \cdot \not{2} \cdot \not{2}} = 2 \cdot 2 \cdot 2 = 8$ Auch in diesem Fall können wir das Produkt in eine Potenz umwandeln und erhalten folgendes Ergebnis: $\frac{2^6}{2^3} = 2^3 $ Wieder lohnt sich ein Blick auf die Exponenten: $\frac{2^6}{2^3} = 2^{6-3} = 2^3$ Im Gegensatz zur Multiplikation werden die Exponenten bei der Division subtrahiert. Merke Hier klicken zum Ausklappen Potenzen mit gleicher Basis werden dividiert, indem man die Exponenten subtrahiert und die Basis beibehält. $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$ Potenzieren von Potenzen Merke Hier klicken zum Ausklappen Potenzen mit gleicher Basis werden potenziert, indem man die Exponenten multipliziert und die Basis beibehält. ${(a^3)^2} = 2^{3\cdot 2} = a^6$ Beispiel Hier klicken zum Ausklappen (1) ${(8^4)^5} = 8^{4\cdot 5} = 8^{20}$ (2) ${(12^3)^{(-2)}} = 12^{3\cdot (-2)} = 12^{-6}$ (3) ${(3^x)^2} = 3^{x\cdot 2} = 3^{2x}$ Herleitung anhand eines Beispiels Beispiel Hier klicken zum Ausklappen ${(2^3)^2}$ Auch diese potenzierte Potenz können wir ausschreiben: ${(2^3)^2} = 2^3\cdot 2^3 = (2\cdot 2\cdot 2) \cdot (2\cdot 2\cdot2) = 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot2 = 2^6 $ Was jetzt kommt, ist für dich ja schon ein alter Hut: wir vergleichen die Exponenten.
Potenzen mit gleicher Basis dividieren Merke Hier klicken zum Ausklappen Potenzen mit gleicher Basis werden dividiert, indem man die Exponenten subtrahiert und die Basis beibehält. $\frac{a^6}{a^3} = a^{6-3} = a^3$ Beispiel Hier klicken zum Ausklappen (1) $\frac{9^{11}}{9^5} = 9^{11-5} = 9^6$ (2) $\frac{3^5}{3^3} = 3^{5-3} = 3^2$ (3) $\frac{7^4}{7^8} = 7^{4-8} = 7^{-4}$ (4) $\frac{a^{3\cdot m + 1}}{a^{m - 2}} = a^{(3\cdot m + 1) - (m - 2)} = a^{2\cdot m + 3}$ Herleitung anhand eines Beispiels Schauen wir uns nun an, wie Potenzen gleicher Basis dividiert werden. Beispiel Hier klicken zum Ausklappen $\frac{2^6}{2^3}$ Die Vorgehensweise ist dabei dieselbe wie bei der Multiplikation: Wir schreiben die Potenz zunächst aus. $\frac{2^6}{2^3} = \frac{2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2}{2\cdot 2\cdot 2}$ An dieser Stelle musst du schon wieder auf dein Vorwissen zurückgreifen. Du hast bestimmt schon einmal gelernt, wie man Zähler und Nenner in einem Bruch gegenseitig kürzen kann. Im Zähler steht insgesamt sechsmal die 2, im Nenner nur dreimal.
4 x ²+3 x ² 2. Bei diesen beiden Potenzen sind auch die Exponenten gleich, nämlich beides mal ². Du kannst sie addieren. 4x ² +3x ² 3. Addiere zuerst die Koeffizienten: 4 + 3 = 7. 4 x²+ 3 x² = 4+3 = 7 4. Die gemeinsame Basis und der Exponent ( x²) wird beibehalten. 4 x² +3 x² =7 x² 5. Dein Ergebnis lautet 7x². 7x² Beachte: Bei 3x 4 + 2y 4 ist das Addieren nicht möglich, da die Basis unterschiedlich ist. Bei 3x 5 + 3x 4 ist die Basis zwar gleich, aber der Exponent ist unterschiedlich. Bei der Addition von Potenzen muss die Basis und der Exponent bei allen zu addierenden Potenzen gleich sein. Addiere alle Koeffizienten miteinander, die gemeinsame Basis und der Exponent wird beibehalten.
Alles wird in diese Playlist ausführlich und gut erklärt. Zudem gibt es zu jedem Potenzgesetz noch einige Übungen mit Lösungen: so, ich gehe mal davon aus dass du mit "%" eine Division meinst, falls dies nicht der Fall ist, schreib doch bitte nochmal deine Angabe:) also wie gesagt ich gehe nun wie folgt aus: (a^27+a^17) / a^15 (I) dafür kannst du auch schreiben: a^27 / a^15 + a^17 / a^15 (II) Dass dies auch möglich ist, wird schnell klar, wenn du beide wieder zu einem gemeinsamen Bruch zusammenfassen möchtest. Die Bedingung dafür ist ein gemeinsamer Hauptnenner. Den haben beide, also Gleichung (II) = Gleichung (I) so und genau bei dieser Gleichung 2 kannst du jetzt deine Potenzgesetze anwenden. Bei Brüchen gilt allgemein: a^m/a^n = a^(m-n) auf die Gleichung übertragen folgt: a^(27-15) + a^(17-15) = a^12 - a^2 Könntest Du die Aufgabe evtl. noch einmal korrekt posten? Denn das% - Zeichen ist an dieser Stelle sicher nicht richtig.