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Hat die Weg-Zeit-Funktion einer mechanischen Schwingung die Form einer Sinus-Funktion, so ist sie harmonisch. Mit Hilfe der Gleichung für harmonische Schwingungen lässt sich die Auslenkung y in Abhängigkeit von der Zeit t darstellen. Der Betrag der Bahngeschwindigkeit bleibt gleich, nicht aber die Richtung. Die Schwingungsgleichung lässt sich wie folgt berechnen: Mit Hilfe dieser kannst du die Auslenkung eines harmonischen Oszillators zu jedem Zeitpunkt t berechnen. Bei einer harmonischen Schwingung ist die rücktreibende Kraft proportional zur Auslenkung. FERTIG! Harmonische Schwingung - Übungsaufgaben - Abitur Physik. Zum einen weißt du jetzt was eine harmonische Schwingung ist und zum anderen bist du nun in der Lage mit dieser rechnerisch zu verfahren. Artikel zu diesem und vielen weiteren Themen, Übungsaufgaben und hilfreiche Literatur findest du auf StudySmarter.
Denn es gilt: Für einen gesamten Umlauf bzw. einen kompletten Schwingungsvorgang (also für die Periodendauer T) gilt ferner: Der Quotient 2T wird als Kreisfrequenz bzw. Harmonische schwingung aufgaben lösungen arbeitsbuch. Winkelgeschwindigkeit (omega) bezeichnet: Damit kann man für den Phasenwinkel auch schreiben: Für den zeitlichen Verlauf der Auslenkung y gilt also: Für eine gleichförmige Kreisbewegung ist die Kreisfrequenz konstant. Es gilt also Wir haben also für eine harmonische Schwingung eine Funktion gefunden, die der Auslenkung y in Abhängigkeit von der Zeit t entspricht. Sie lautet: Diese Funktion können wir Bewegungsgleichung für harmonische Schwingungen nennen. Gleichung für harmonische Schwingungen Die Gleichung für harmonische Schwingungen lässt sich ebenso mit Hilfe der Schwingungsdauer T oder der Frequenz f ausdrücken. Dazu ersetzt du die Kreisfrequenz wieder durch Somit kannst du die Gleichung für harmonische Schwingungen auf verschiedene Art und Weise ausdrücken: Zusatz: Alle schwingenden Systeme werden als Oszillatoren bezeichnet.
Diese Verschiebungen treten allgemein auf, unabhängig von der Periodendauer \(T\) und dem Startzeitpunkt der harmonischen Schwingung. Allgemeiner Fall mit beliebigem Startpunkt Für den allgemeineren Fall, in dem sich der Körper zur Zeit \(t = 0\) bei der Kreisbewegung schon bei einem Winkel \(\varphi \ne 0\) befindet, wird die Beschreibung etwas komplizierter. Hier musst du die Phasenverschiebung \(\varphi\) im Argument von Sinus bzw. Harmonische schwingung aufgaben lösungen kursbuch. Kosinus in allen drei Gesetzmäßigkeiten berücksichtigen. Abb. 2 Bewegungsdiagramm im allgemeinen Fall Zeit-Orts-Gesetz \[y(t) = \hat y \cdot \sin \left( {\omega \cdot t + \varphi} \right)\] Zeit-Geschwindigkeits-Gesetz \[v(t) = \dot y(t) = \hat y \cdot \omega \cdot \cos \left( {\omega \cdot t + \varphi} \right) = \hat v \cdot \cos \left( {\omega \cdot t + \varphi} \right)\] Zeit-Beschleunigungs-Gesetz \[a(t) = \dot v(t) = \ddot y(t) = - \hat y \cdot {\omega ^2} \cdot \sin \left( {\omega \cdot t + \varphi} \right) = - \hat a \cdot \sin \left( {\omega \cdot t + \varphi} \right)\] Quiz Übungsaufgaben
Nun können wir unser Problem Matlab/Octave mitteilen.
y(t) = ymax · sin( · t) (Achtung: Taschenrechner auf RAD einstellen! ) Für t = 0, 6 s ergibt sich: y(t) = 12 cm · sin( · 0, 6s) = 0 cm Der Sinusterm ergibt 0, also erhält man auch für die Auslenkung den Wert y = 0. Der Oszillator befindet sich also in der Ruhelage. Das ist auch logisch, denn die Zeit t = 0, 6 s entspricht genau der halben Schwingungsdauer. Für t = 1 s ergibt sich: y(t) = 12 cm · sin( · 1s) = -10, 39 cm Der Sinusterm ergibt nun den Wert -0, 866. Harmonische Schwingung — Modellbildung und Simulation. Multipliziert mit der Amplitude von 12 cm erhält man für die Auslenkung den Wert y = -10, 39 cm. Der Oszillator befindet sich also bei y = -10, 39 cm, also 10, 39 cm unterhalb der Ruhelage, da in der Aufgabenstellung "oben" als positive y-Richtung vorgegeben war. Für t = 1, 5 s ergibt sich: y(t) = 12 cm · sin( · 1, 5s) = 12 cm Der Sinusterm ergibt den Wert 1. Die Auslenkung entspricht also der Amplitude: y = ymax. Der Oszillator befindet sich bei der maximalen Auslenkung 12 cm oberhalb der Ruhelage, also im oberen Umkehrpunkt. Hinweis: Die Auslenkung kann Werte zwischen ymax und -ymax annehmen.
Unter einer harmonischen Schwingung versteht man eine Schwingung, die vollständig mit der Sinus- bzw. Kosinusfunktion beschrieben werden kann. Dazu gehört das einfache Fadenpendel, das trotz der starken Vereinfachung eine gute Vorstellung davon gibt, mit welchen mathematischen Problemstellungen Ingenieur:innen in der Praxis oft konfrontiert werden. Oft haben die Differentialgleichungen eine Lösung der Form \[y(t) = y_0 \cdot \sin \left( {\omega \cdot t} \right). Harmonische schwingung aufgaben lösungen. \] Aufgabe 1: Fadenpendel ¶ Nutzen Sie Matlab/Octave, um das Verhalten eines Fadenpendels zu simulieren. Stellen Sie dazu zunächst mit Stift und Papier die zu lösende Differentialgleichung auf. Tipp: Vielleicht hilft Ihnen die Energieerhaltung oder das dynamische Kräftegleichgewicht (D'Alembert) bei der Herleitung! Nun stehen wir vor der Herausforderung ein zeitkontinuierliches Problem mit unseren endlichen Ressourcen zu lösen! Wie gelingt uns dies? Und wie können wir eine diskrete Zeit in Matlab ausdrücken? Tipp: Vielleicht kommen wir mit dieser Funktion einen Schritt näher?
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