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Los geht´s! Aufgabe 1: Berechne den Schnittpunkt der Ebene E mit der Geraden g. Lösung: Schritt 3: Multipliziere aus und löse nach r auf: Schritt 5: Lies den Schnittpunkt S ab: Der Schnittpunkt liegt bei S (28 | 15 | 18). Schnittgerade zweier Ebenen in Koordinatenform berechnen - YouTube. Aufgabe 2: Berechne den Schnittpunkt der Ebene E mit der Geraden g. Als erstes musst du die Ebene von der Parameterform in Koordinatenform umrechnen: Schritt 1: Berechne den Normalenvektor als Kreuzprodukt der beiden Spannvektoren: Schritt 2: Schreibe die Koordinaten vom Normalenvektor n jeweils vor x 1, x 2 und x 3: Schritt 3: Bestimme den Parameter c mit dem Stützvektor: Schritt 4: Setze den Parameter c nun noch in die Koordinatenform ein: Berechne nun den Schnittpunkt S von der Gerade g und der Ebene E. Nutze dafür wieder die 5 Schritte von oben: Schritt 5: Lies den Schnittpunkt S ab: Der Schnittpunkt liegt bei S (0 | 0 | 1). Lagebeziehungen Gerade Ebene Gerade und Ebene schneiden sich aber nicht immer. Es gibt drei verschiedene Möglichkeiten, wie Geraden und Ebenen zueinander liegen können: 1.
Aufgrund der unterschiedlichen Schreibweisen als Parameterform bzw. Koordinatenform bieten sich unterschiedliche Verfahrenswege an. Koordinatenform und Koordinatenform Die 2 Koordinatengleichungen ergeben ein unterbestimmes Gleichungssystem. Ich löse dieses GLS, wobei ich gleich eine der Koordinaten, sagen wir z=t, als Laufparameter der zu erwartenden Geraden festlege und x, y in Abhängigkeit von t berechne. Schnittpunkt zweier Ebenen berechnen, Beispiel 3 | V.02.03 - YouTube. Das Ergebnis für (x, y, z) ist die Schnittgerade. Mathe Eingabe Ausgabe 1 E1(x, y, z):= 2x+2y-z-6 2 E_1:=E1(x, y, z)=0 3 E2(x, y, z):= 6x+9y+2z+22 4 E_2:=E2(x, y, z)=0 : 5 E2(x, y, t)-3*E1(x, y, t) in E1 6 Löse($5, y) 7 Ersetze(E1(x, y, t), $6) 8 Löse($7, x) 9 g(t):=Ersetze((x, y, t), {$6, $8})
Worum geht es hier? Angenommen, man hat zwei Ebenen im Raum. Entweder schneiden diese sich; dann ist die Schnittmenge eine Gerade. Oder sie schneiden sich nicht, weil sie parallel sind. Was von beidem der Fall ist, findet man zum Beispiel heraus, indem man die Ebenen gleichsetzt (was zu einem größeren Gleichungssystem führt. ) Wie kann man eine Schnittgerade berechnen? Schnittgeraden von Ebenen jetzt berechnen leicht gemacht. Aufgabe: Schnittpunkte finden von E: x= ( 1) +r ( 2) +s ( 3) 2 3 2 5 1 4 und E: x= ( 1) +r ( 4) +s ( 2) 3 1 4 2 3 3 Vektorgleichung (bedenke, Parameter umzubenennen... ): ( 1) +r ( 2) +s ( 3) = ( 1) +t ( 4) +u ( 2) 2 3 2 3 1 4 5 1 4 2 3 3 Das liefert das folgende Gleichungssystem: 1 +2r +3s = 1 +4t +2u 2 +3r +2s = 3 +t +4u 5 +r +4s = 2 +3t +3u So formt man das Gleichungssystem um: 2r +3s -4t -2u = 0 3r +2s -1t -4u = 1 r +4s -3t -3u = -3 ( Variablen wurden nach links gebracht, Zahlen nach rechts. )
Aus $3x -2y + z = 1$ wird somit $3(\lambda-\mu)-2(1+\mu)+(-1-\lambda+\mu)=1$ ⇔ $\lambda -2\mu = 2$ Schritt 2: In der Parametergleichung einen Parameter durch den anderen ausdrücken Die letzte Gleichung aus Schritt 1 erlaubt es uns, einen der beiden Parameter $\lambda$ und $\mu$ durch den anderen auszudrücken.
Umwandlung von Koordinatenform in Parameterform Ist uns die Ebenengleichung in Koordinatenform gegeben, so können wir mit folgenden Schritten die Parameterform bestimmen: Gegebene Ebenengleichung in Koordinatenform: 1·x - 1·y + 4·z = -4 Stellen wir die Gleichung zuerst nach z um: 4·z = -4 + 1·x + 1·y z = -1 + (-0, 25)·x + 0, 25·y Rechenweg Variante A: Über 3 beliebige Punkte Diese Gleichung können wir nun verwenden, um die einzelnen Vektoren für die Ebenengleichung aufzustellen (oder Parameter direkt ablesen).
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