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Im Folgenden wollen wir uns mit der Bestimmung von Stammfunktionen beschäftigen. Dazu bringen wir zu Beginn eine Definition und die dazugehörigen Regeln. Anschließend rechnen wir diverse Aufgaben vor, um die Thematik zu vertiefen. Die Lösung und der Lösungsweg sind bei der jeweiligen Aufgabe mitangegeben. Definition: Eine Funktion heißt Stammfunktion zur Funktion, wenn für alle gilt:. Regeln zur Bestimmung von Stammfunktionen: Mit diesen Regeln lassen sich schon sehr viele Stammfunktionen bestimmen. Legen wir am besten direkt mit der ersten Aufgabe los. 1. Integral und Stammfunktion. Aufgabe mit Lösung Wir sollen zu eine Stammfunktion bestimmen. Wir können den Funktionsterm auch anders schreiben.. Nun können wir die erste Regel anwenden: Dazu setzen wir quasi nur ein. Wir erhalten demnach: wobei Das also einer Konstanten erfolgt stets bei einer Stammfunktion, da diese konstante Zahl beim Ableiten wegfällt. 2. Dazu können wir die erste Regel ausnutzen. 3. Aufgabe mit Lösung Wir wollen zu die Stammfunktion bestimmen.
Was du zunächst zum Thema Ableiten wissen solltets: Geometrisch entspricht die Ableitung einer Funktion der Tangentensteigung. Wie du dir das vorstellen kannst, sehen wir in der Abbildung. Angenommen die Funktion lautet $f(x)=x^2$, dann lautet die zugehörige erste Ableitung $f'(x)=2x$, welche die Steigung der Tangente an jeder Stelle $x_0$ definiert. Setzen wir für $x$ Zahlen ein, z. B. Aufleiten aufgaben mit lösungen der. $x_0=2$, sehen wir, dass die Tangentensteigung an der Stelle 2 gleich $f'(2)=4$ ist. Wenn wir $x_0=-1$ einsetzen, erhalten wir mit $f'(-1)=-2$ die Steigung der Tangente an der Stelle -1. Es gilt (was sich leicht aus der obigen Grafik nachvollziehen lässt): liegt $x_0$ in einem Bereich, in dem die Kurve steigt, gilt $f'(x)>0$ liegt $x_0$ in einem Bereich, in dem die Kurve fällt, gilt $f'(x)<0$ Anhand der folgenden Grafik kann man schön sehen, wie $f(x), f'(x)$ und $f"(x)$ miteinander verbunden sind. Vielleicht kennt ihr diese Eselsbrücke: N steht hierbei für die Nullstelle, E für Extrempunkt und W für den Wendepunkt.
Aufgabe 3 a) Berechnen Sie die Ableitung folgender Funktionen mithilfe der Ableitungsregeln ohne anschließend zu vereinfachen. α) \(f(x) = 3x^{4} - \dfrac{3}{x} + 6\) β) \(g(x) = (2x - 3)(x^{2} - t)\) γ) \(h(x) = \dfrac{3x - 5}{3 - x^{3}}\) b) Bestimmen Sie eine Stammfunktion der Funktion \(f \colon x \mapsto 3x^{4} + \dfrac{3}{x^{3}} - 4\). Aufgabe 4 Gegeben ist die Funktion \(f \colon x \mapsto 4x^{2} - 1\). a) Bestimmen Sie die mittlere Änderungsrate auf dem Intervall \([1;3]\). b) Bestimmen Sie \(f'(2)\) unter Verwendung des Differentialquotienten. Aufgabe 5 Florian behauptet: "Sind die Ableitungen von zwei Funktionen gleich, so sind auch die Funktionen selbst gleich. Bungen zum Skizzieren der Ausgangsfunktion bei gegebener Ableitungsfunktion. " Nehmen Sie zu Florians Aussage begründend Stellung. Aufgabe 6 Ordnen Sie die Graphen I bis VI den freien Feldern der Tabelle so zu, dass unter einem Funktionsgraphen jeweils der Graph seiner Ableitung zu sehen ist und beschriften Sie die Felder entsprechend. Begründen Sie Ihre Wahl für die erste Spalte. Hinweis: Die Skalierung der Koordinatenachsen ist für alle abgebildeten Graphen dieselbe.
Hesse Matrix berechnen im Video zur Stelle im Video springen (01:27) Zur Berechnung der Hesse Matrix müssen also nur alle möglichen partiellen Ableitungen 2. Ordnung bestimmt werden und in richtiger Reihenfolge in einer Matrix angeordnet werden. Um die Übersicht nicht zu verlieren kann hierfür zunächst der Gradient berechnet und notiert werden. Anschließend muss nur noch die Jacobi-Matrix des Gradienten berechnet werden und man erhält die Hesse Matrix. direkt ins Video springen Hesse-Matrix berechnen Die Berechnung der Hesse Matrix soll anhand zweier Beispiele vorgeführt werden. Aufleiten aufgaben mit lösungen video. Hesse Matrix Beispiel 1 im Video zur Stelle im Video springen (02:24) Im ersten Beispiel soll die Hessesche Matrix der Funktion an der Stelle berechnet werden. Dazu wird wie bereits beschrieben zunächst der Gradient dieser Funktion bestimmt. Dieser lautet: Nun ist die Hesse Matrix gerade die Jacobi-Matrix des Gradienten. Um diese zu bestimmen, werden die partiellen Ableitungen nach x und y der beiden Komponenten und des Gradienten ermittelt und in richtiger Reihenfolge angeordnet: Hier ist noch einmal gut zu erkennen, dass die Hessesche Matrix tatsächlich symmetrisch ist.
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