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988 Aufrufe Ich brauche mal eure Hilfe: Die Funktionenschar lautet mit f t mit f t (x) = x 3 + t · (x 2 - x) Wie bestimme man hier die Extrempunkte von f 3? Für welche Werte von t hat der Graph von f t keine Extrempunkte? Ich hoffe ihr könnt mir helfen... Besten Gruß Gefragt 22 Sep 2014 von f 3 (x) = x 3 + 3 * (x 2 - x) f 3 (x) = x 3 + 3 * x 2 - 3 * x f 3 ' (x) = 3*x 2 + 6 * x - 3 f 3 ' (x) = 0 3*x 2 + 6 * x - 3 = 0 x 2 + 2 * x - 1 = 0 x = -1 - √2 (Hochstelle) oder x = -1 + √2 (Tiefstelle) Charakterisierung der Extremstellen aufgrund des Kurvenverlaufs, ihre Mitte x = -1 ist die Wendestelle.
7, 3k Aufrufe brauche Hilfe Gegeben ist die Funktionenschar Fa mit fa (x)=-x^2+3ax-6a+4 Bestimmen Sie die Extrempunkte des Graphen von Fa in Abhängigkeit von a. Für welchen Wert von a liegt der Extrempunkt auf der x-Achse bzw. y-Achse? Benötige den Lösungsweg mit der notw. Bedingung und dann mit der hinr. Bedingung Gefragt 4 Jan 2017 von 2 Antworten f a (x) = - x 2 +3ax-6a+4 es handelt sich um eine nach unten geöffnete Parabel, die nur einen Hochpunkt im Scheitelpunkt hat. Extrempunkte funktionsschar bestimmen mac. # Die notwendige Bedingung ist f a '(x) = 0. f a '(x) = 3·a - 2·x = 0 ⇔ x = 3a/2 f a (3a/2) = 9·a 2 /4 - 6·a + 4 → H( 3a/2 | 9·a 2 /4 - 6·a + 4) ( die hinreichende Bedingung f a "(3a/2) < 0 wir hier wegen # eigentlich nicht benötigt) Auf der y-Achse muss der x-Wert von H = 0 sein → a = 0 Auf der x-Achse muss der y-Wert von H = 0 sein: 9·a 2 /4 - 6·a + 4 = 0 a 2 - 8/3 a + 16/9 = 0 a 2 + pa + q = 0 pq-Formel: p = 8/3; q = 16/9 a 1, 2 = - p/2 ± \(\sqrt{(p/2)^2 - q}\) = 4/3 ± \(\sqrt{16/9 - 16/9}\) → a = 4/3 Gruß Wolfgang Beantwortet -Wolfgang- 86 k 🚀 Ähnliche Fragen Gefragt 5 Jun 2013 von Anes
Benutze also den Vorzeichenwechsel. Setze in die 1. Ableitung f'(x) f ′ ( x) f'(x) links und rechts von der möglichen Extremstelle x=0 x = 0 x=0 Werte ein. Wähle die Werte möglichst klein! Als Wert links von x=0 x = 0 x=0 kannst du z. Extrempunkte funktionsschar bestimmen klasse. -\frac{1}{10} − 1 10 -\frac{1}{10} einsetzen: f'\left(-\frac{1}{10}\right) = 4\cdot \left(-\frac{1}{10}\right)^3=-\frac{4}{1000} \col[1]{<0} f ′ ( − 1 10) = 4 ⋅ ( − 1 10) 3 = − 4 1000 \col [ 1] < 0 f'\left(-\frac{1}{10}\right) = 4\cdot \left(-\frac{1}{10}\right)^3=-\frac{4}{1000} \col[1]{<0} Als Wert rechts von x=0 x = 0 x=0 kannst du z. +\frac{1}{10} + 1 10 +\frac{1}{10} einsetzen: f'\left(\frac{1}{10}\right) = 4\cdot \left(\frac{1}{10}\right)^3=\frac{4}{1000} \col[1]{>0} f ′ ( 1 10) = 4 ⋅ ( 1 10) 3 = 4 1000 \col [ 1] > 0 f'\left(\frac{1}{10}\right) = 4\cdot \left(\frac{1}{10}\right)^3=\frac{4}{1000} \col[1]{>0} Das Vorzeichen der 1. Ableitung (und damit der Steigung) wechselt also an der Stelle x= 0 x = 0 x= 0 von negativ zu positiv. Deswegen liegt dort ein Tiefpunkt.
Beispiel für ein globales Minimum Die Funktion f(x) = x^2 f ( x) = x 2 f(x) = x^2 hat einen Tiefpunkt bei (0|\col[3]{0}) ( 0 ∣ \col [ 3] 0) (0|\col[3]{0}). In seiner Umgebung ist dies der tiefste Punkt. Es handelt sich also immer um ein lokales Minimum. Besuche die App um diesen Graphen zu sehen Gleichzeitig ist dies aber auch der tiefste Punkt der gesamten Funktion. Denn es gilt für alle x x x: x^2 \geq \col[3]{0} x 2 ≥ \col [ 3] 0 x^2 \geq \col[3]{0} Es gibt also keinen Punkt, der tiefer als (0|\col[3]{0}) ( 0 ∣ \col [ 3] 0) (0|\col[3]{0}) liegt. Damit ist der Tiefpunkt ein globales Minimum. Beispiel für kein globales Minimum/Maximum Die Funktion f(x) = x^3 - 3x^2 f ( x) = x 3 − 3 x 2 f(x) = x^3 - 3x^2 hat einen Tiefpunkt bei (2|\col[2]{-4}) ( 2 ∣ \col [ 2] − 4) (2|\col[2]{-4}). Extrempunkte funktionsschar bestimmen englisch. Besuche die App um diesen Graphen zu sehen Allerdings gibt es Funktionswerte, die tiefer liegen. Z. B. gilt: \begin{aligned} f(\col[1]{-2}) &= (\col[1]{-2})^3-3\cdot (\col[1]{-2})^2 \\ &= -8 -12 &= -20 &< \col[2]{-4}\end{aligned} f ( \col [ 1] − 2) = ( \col [ 1] − 2) 3 − 3 ⋅ ( \col [ 1] − 2) 2 = − 8 − 12 = − 20 < \col [ 2] − 4 \begin{aligned} &< \col[2]{-4}\end{aligned} Der Tiefpunkt ist also kein globales Minimum.