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Für viele gängige Verteilungen gibt es in R Funktionen um Wahrscheinlichkeits(dichte)funktion, Verteilungsfunktion, Quantilsfunktion und einen Zufallsgenerator zu nutzen. Binomialverteilung Am Beispiel einer Binomialverteilung mit \(n = 3\) und \(\pi = \frac{1}{6}\) können Sie mit dbinom() die Wahrscheinlichkeitsfunktion \(f(x)\) für einen bestimmten Wert x bestimmen. Wenn wir also den Wert für \(f(1)\) wissen wollen, verwenden wir: dbinom ( x = 1, size = 3, prob = 1 / 6) ## [1] 0. 3472222 Die Verteilungsfunktion \(F(x)\) erhalten wir mit pbinom(). Für die Bestimmung von \(F(2)\) verwenden wir: pbinom ( q = 2, size = 3, prob = 1 / 6) ## [1] 0. 9953704 und erhalten damit die Wahrscheinlichkeit \(P(X \le 2) = 0. 995\) für diese spezifische Verteilung. Die Quantilsfunktion qbinom() ist die Umkehrfunktion der Verteilungsfunktion. Die Frage \(P(X \le 2) =? \) können wir mit der Verteilungsfunktion oben beantworten. Wenn jedoch die gegeben Informationen genau umgekehrt sind, wir also die Frage \(P(X \le? )
3 nach rechts und 0. 1 nach oben. col=c("grey30", "grey90"), legend("topright", c("Männlich", "Weiblich"), pch=15, col=c("grey30", "grey90"), cex=1. 75, bty="n", ersp = 0. 3, ersp= 0. 5, inset= c(-0. 1)) Hinweis: Speziell mit der cex, ersp, ersp und inset-Funktion müsst ihr mitunter etwas rumprobieren, da es von den Dimensionen eures Diagrammes abhängt. Daten zum Download Beispieldatensatz Balkendiagramm für Gruppen in R
1: Links: beobachtete relative Häufigkeiten. Rechts: Wahrscheinlichkeitsfunktion der zugrunde liegenden Verteilung Normalverteilung Genauso können wir für jede Normalverteilung die gleichen Funktionen mit dnorm(), pnorm(), qnorm() und rnorm() anwenden. Häufig haben wir das Problem, dass wir wissen wollen, wie groß die Fläche unter \(f(x)\) links oder rechts von einem gegebenen Wert auf der x-Achse ist. Im obigen Beispiel würden wir erfahren, dass die Fläche für x-Werte von \(-\infty\) bis \(-1\) ca. \(0. 159\) beträgt. Diese Wahrscheinlichkeit \(P(X \leq -1)\), also dass in dieser spezifischen Verteilung Werte kleiner oder gleich -1 auftreten, können wir nun mit Hilfe der Verteilungsfunktion \(F(x)\) direkt bestimmen. pnorm ( q = - 1, mean = 0, sd = 1) ## [1] 0. 1586553 Umgekehrt können wir wieder mit der Quantilsfunktion die Frage \(P(X \le? ) = 0. 159\) beantworten: qnorm ( p = 0. 1586553, mean = 0, sd = 1) # ergibt gerundet 1 ## [1] -0. 9999998 Die Verteilungsfunktion \(F(x)\) berechnet also die Fläche unter einer Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion von \(- \infty\) bis zu einem bestimmten Wert.
Demzufolge wird mit () dieser Test berechnet: Für den Fisher-Test erhält man folgenden Output: Fisher's Exact Test for Count Data p-value = 0. 5736 alternative hypothesis: Hier kann man recht gut erkennen, das der p-Wert mit 0, 5736 einen deutlich anderen Wert annimmt, als mit dem einfachen Chi-Quadrat-Test (p=0, 4896). Zugegeben, in meinem Beispiel ändert sich mit der Beibehaltung der Nullhypothese (statistische Unabhängigkeit zwischen den Merkmalen) nichts. Man kann sich aber sicher vorstellen, dass bei p-Werten um die typisch gewählte Verwerfungsgrenze von 0, 05 herum durchaus höhere oder niedrigere Signifikanzen ergeben können und es zu einer nachträglichen Verwerfung oder Beibehaltung der Nullhypothese kommen kann. Der zusätzliche Schritt mit exaktem Test nach Fisher ist demnach vor allem zur Begrenzung des Fehlers 1. Art und des Fehlers 2. Art notwendig. Interpretation der Ergebnisse des Chi-Quadrat-Test in R Die Nullhypothese statistischer Unabhängigkeit wurde mittels des p-Wertes versucht zu verwerfen.
07407407 P(X \ge 2) = 0. 074 Als vierte Hilfsfunktion für die Binomialverteilung ist mit rbinom() das zufällige Ziehen einer Zufallsvariable X aus einer gegebenen Verteilung möglich. Als Ergebnis erhalten wir beliebig viele zufällig gezogene Realisationen der Zufallszahl: rbinom ( n = 10, size = 3, prob = 1 / 6) ## [1] 1 0 1 0 0 1 1 0 0 1 Bei einer so geringen Erfolgswahrscheinlichkeit von \(\frac16\) sollte die 0 die am häufigsten beobachtete Ausprägung sein, was sich hier nun auch (zufällig) so zeigt. Mithilfe der Funktion könnte man auch gut illustrieren, dass sich bei sehr häufiger Ziehung die relativen Häufigkeiten der beobachteten Ausprägungen der Wahrscheinlichkeitsfunktion annähern. # 100000 Ziehungen aus der gleichen Verteilung: x <- rbinom ( n = 100000, size = 3, prob = 1 / 6) # relative Häufigkeiten berechnen: h <- table (x) / 100000 # rel. Häufigkeiten anzeigen barplot (h, xlab = 'x', ylab = 'relative Häufigkeit', main = '100000 Ziehungen', = c ( '0', '1', '2', '3')) Abb. 4.
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