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In diesem Kapitel schauen wir uns an, wie man Potenzen multipliziert. Erforderliches Vorwissen Was ist eine Potenz? Voraussetzung Anleitung Gleiche Basis In Worten: Potenzen mit gleicher Basis werden multipliziert, indem man die Exponenten addiert und die Basis beibehält. Beispiel 1 $$ {\color{green}2}^2 \cdot {\color{green}2}^3 = {\color{green}2}^{2+3} = {\color{green}2}^5 $$ Beispiel 2 $$ {\color{green}2}^2 \cdot {\color{green}2}^3 \cdot {\color{green}2}^6 = {\color{green}2}^{2+3+6} = {\color{green}2}^{11} $$ Gleicher Exponent In Worten: Potenzen mit gleichem Exponenten werden multipliziert, indem man die Basen multipliziert und den Exponenten beibehält. Beispiel 3 $$ 2^{\color{green}4} \cdot 3^{\color{green}4} = \left(2 \cdot 3\right)^{\color{green}4} = 6^{\color{green}4} $$ Beispiel 4 $$ 4^{\color{green}3} \cdot 5^{\color{green}3} = \left(4 \cdot 5\right)^{\color{green}3} = 20^{\color{green}3} $$ Wenn wir dieses Rechengesetz anwenden, müssen wir nur einmal – anstatt zweimal – potenzieren.
Kürzen wir diese gegeneinander weg, erhalten wir folgendes: $\frac{2^6}{2^3} = \frac{ \not{2} \cdot \not{2} \cdot \not{2} \cdot 2\cdot 2\cdot 2}{\not{2} \cdot \not{2} \cdot \not{2}} = 2 \cdot 2 \cdot 2 = 8$ Auch in diesem Fall können wir das Produkt in eine Potenz umwandeln und erhalten folgendes Ergebnis: $\frac{2^6}{2^3} = 2^3 $ Wieder lohnt sich ein Blick auf die Exponenten: $\frac{2^6}{2^3} = 2^{6-3} = 2^3$ Im Gegensatz zur Multiplikation werden die Exponenten bei der Division subtrahiert. Merke Hier klicken zum Ausklappen Potenzen mit gleicher Basis werden dividiert, indem man die Exponenten subtrahiert und die Basis beibehält. $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$ Potenzieren von Potenzen Merke Hier klicken zum Ausklappen Potenzen mit gleicher Basis werden potenziert, indem man die Exponenten multipliziert und die Basis beibehält. ${(a^3)^2} = 2^{3\cdot 2} = a^6$ Beispiel Hier klicken zum Ausklappen (1) ${(8^4)^5} = 8^{4\cdot 5} = 8^{20}$ (2) ${(12^3)^{(-2)}} = 12^{3\cdot (-2)} = 12^{-6}$ (3) ${(3^x)^2} = 3^{x\cdot 2} = 3^{2x}$ Herleitung anhand eines Beispiels Beispiel Hier klicken zum Ausklappen ${(2^3)^2}$ Auch diese potenzierte Potenz können wir ausschreiben: ${(2^3)^2} = 2^3\cdot 2^3 = (2\cdot 2\cdot 2) \cdot (2\cdot 2\cdot2) = 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot2 = 2^6 $ Was jetzt kommt, ist für dich ja schon ein alter Hut: wir vergleichen die Exponenten.
Lesezeit: 4 min Wie wir wissen, helfen uns Zehnerpotenzen, große Zahlen schneller und übersichtlicher zu schreiben. Zum Beispiel: 375 000 000 = 375 · 1 000 000 = 375 · 10 6 oder aber auch: 375 000 000 = 3, 75 · 1 00 000 000 = 3, 75 · 10 8 Wir können solche Zahlen in Zehnerpotenz-Schreibweise miteinander addieren, hierzu gibt es verschiedene Möglichkeiten. Zehnerpotenzen mit ganzer Zahl als Vorfaktor Wir nehmen als Beispielaufgabe: 75·10 6 + 83·10 7 und sollen die Lösung berechnen. Wie wir sehen, sind die Vorfaktoren ganze Zahlen. Ein Rechenweg zur Addition von Zehnerpotenzen ist, die Zehnerpotenzen auszuschreiben, zum Beispiel: 75·10 6 + 83·10 7 = 75 000 000 + 83 0 000 000 Und dann die beiden Zahlen direkt zu addieren: = 75 000 000 + 830 000 000 = 905 000 000 Schreiben wir die Addition beider Zahlen mit den Stellen untereinander (also schriftliche Addition): 75 000 000 + 830 000 000 = 905 000 000 Das Ergebnis können wir nun auch als Zehnerpotenz schreiben (einfach die Nullen zählen und mit 10 Nullenanzahl notieren).
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