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Komplexe Zahlen Das Problem der Unvollständigkeit Schon mehrfach in der Vergangenheit musste der dahin bestehende Zahlenbereich erweitert werden um bestimmte Probleme lösen zu können. Begonnen hat alles mit den Natürlichen Zahlen (1, 2, 3,.... ). Mit diesen Zahlen konnte man problemlos addieren und multiplizieren, ohne den besagten Zahlenbereich verlassen zu müssen. Jedoch stieß man schon bei einem weiteren Rechenverfahren, der Division auf Schwierigkeiten. Bei der Rechenoperation 3:9 erhalten wir das Ergebnis 1/3. Dieser Bruch ist, wie alle Brüche nicht in der Menge der natürlichen Zahlen enthalten. Die Zahlenmenge musste also, um die Vollständigkeit (= Zahlenbereich in dem man alle Rechenoperationen durchführen kann ohne diesen zu verlassen) zu gewährleisten, erweitert werden. Die Menge der Zahlen wurde also im Laufe der Zeit immer erweitert, bis man schließlich die Menge der reelen Zahlen hatte. Willkommen auf Komplexe-Zahlen.de. Doch der Zahlenbereich war nicht vollständig. Denn es entstand das Problem, was das Ergebnis der Quadratwurzel aus -1 ist.
Diese Darstellung nennt man Normalform. Grafik siehe bitte Datei! Die Polarform Im Gegensatz zu Normalform, können Komplexe Zahlen auch in der Polarform in der Gaußschen Zahlenebene dargestellt werden. Bei dieser Darstellung wird eine Gerade vom Ursprung bis zum Punkt P gezogen. Dieser Punkt P stellt die Komplexe Zahl in der Form z = a + bi dar. Die komplexe Zahl wird also hierbei als Vektor (a/b) aufgefasst. Der Abstand des Punktes P zum Ursprung wird als Betrag von z oder r bezeichnet. Grafik und weitere Erläuterungen siehe bitte Datei! Facharbeit: Einführung in die Komplexen Zahlen - Fachbereichsarbeit. Konjugierte komplexe Zahlen Durch Umkehrung des Vorzeichens des Imaginärteils einer komplexen Zahl, erhält man die zu z konjugierte (conjugere (lat. ) = verbinden) komplexe Zahl (gelesen: z quer). z = a + bi und = a bi nennt man konjugiert zueinander. Diese Umpolung von b, entspricht der Spiegelung der komplexen Zahl an der reele Achse (X-Achse). Die Vektoren der zueinander konjugierten Punkte gehen durch diese Spiegelung ineinander über. Dadurch entsteht eine rein reele Zahl auf der Realachse.
In früheren Zeiten erschienen negative Zahlen zunächst sinnlos, z. B. wenn Zahlensysteme im Handel zur Bemessung von Mengen und Gewichten ge- braucht wurden. Heute ist es dagegen selbstverständlich, dass ein Konto ein "negatives Guthaben" aufweisen kann, dass man also Schulden gemacht hat. Auch in der Physik sind negative Werte üblich, z. negative Temperaturen (Temperaturen unter 0 °C). Facharbeit über das Thema komplexe Zahlen? (Mathe, Mathematik, Abitur). Die Darstellung der negativen Zahlen auf einem Zahlenstrahl ist nicht mög- lich, da sie links vom Anfangspunkt dieses Strahls liegen würden. Deshalb war eine Erweiterung des Zahlenstrahls zur Zahlengeraden d erforderlich, in- dem der Zahlenstrahl am Nullpunkt gespiegelt wird. Rationale Zahlen sind alle Zahlen die sich als Bruch in der Form m n darstel- len lassen, wobei m und n ganze Zahlen sind. m wird Zähler genannt, n ist der Nenner des Bruches. n gibt also an, in wie viele Teile ein Ganzes zerlegt wird, m gibt an, wie viele dieser Teile vorhanden sind. Nach dieser Definition sind auch die ganzen Zahlen rationale Zahlen, denn ganze Zahlen lassen sich stets als Bruch darstellen, wobei der Zähler ein ganzzahliges Vielfaches des Nenners ist.
→ Division Vorraussetzung für die Division von komplexen Zahlen, ist dass man mit Komplex konjugierten rechnen kann, dies wird nach der Erläuterung der Division thematisiert werden. Zur Division von komplexen Zahlen..... This page(s) are not visible in the preview. |z|² = z⋅z¯ = (x + y ⋅ i) ⋅ (x − y ⋅ i) = x² − xyi + xyi − y²i² = x² + y² Das heißt soviel wie |z| = Wurzel (x² + y²) Dies war die Vorraussetzung um im Bereich der komplexen Zahlen zu dividieren. 6. Pragmatische Rechenregeln Am einfachsten lassen sich die Rechnungen, mithilfe der pragmatischen Rechenregeln durchführen: Die schon gerade eben im Punkt "Rechnungen" erwähnte Multiplikation der komplexen Zahlen, kann wenn es die Vorgabe ermöglicht in algebraischer Form zum Vorteil oder aber auch in Exponentialform, also der Addition von Argumenten und der Multiplikation von Beträgen durchgeführt werden. Angekommen bei der Division von komplexen Zahlen dividiert man bei diesen Rechenregeln die Beträge in Exponentialform, weiterführend werden die Argumente, auch Winkel genannt, subtrahiert.
Imaginäre Zahlen haben somit die Befugnis alle nur möglichen reellen Vielfachen, der imaginären Zahl i anzunehmen. Man sollte beachten, dass man vor Anwendung der Rechenregeln, wir imaginäre Zahlen wie ein Produkt darstellen müssen, dass einen..... This page(s) are not visible in the preview. Die Punkte auf der imaginären Achse entsprechen den reellen Vielfachen von i. Sie werden imaginäre Zahlen genannt. Für jede komplexe Zahl z=x+iy (mit x als Realteil und y als Imaginärteil) bezeichnen wir die komplexe Zahl als die zu z komplex konjugierte Zahl (oder kurz als komplex Konjugierte von z). " i Der benutzte Name "imaginär" bedeutet so viel wie "eingebildet". Es hat lange gedauert bis es überhaupt Menschen gab die an diese "imaginäre Einheit" geglaubt haben und es gab lange Misstrauen, da dass Quadrat einer Zahl eigentlich nicht negativ sein kann. Wir Menschen haben diese Zahlen sehr lange abgelehnt, da es für uns keinen Sinn ergab, wenn jemand sagte er hat 2, 7 oder 9 Hunde war das logisch, jedoch ergab -2 Hunde für uns keinen wirklichen Sinn.