actionbrowser.com
\(f''(x_1)=6\cdot 1-12=-6\) Da \(f''(x_1)\lt 0\) ist, liegt hier ein Hochpunkt vor. Jetzt können wir \(x_2\) in die zweite Ableitung einsetzen. \(f''(x_2)=6\cdot 3-12=6\) Da \(f''(x_2)\gt 0\) ist, liegt hier ein Tiefpunkt vor. Zum Schluss müssen wir die \(y\)-Werte vom Hochpunkt und vom Tiefpunkt berechnen. Dazu setzen wir \(x_1\) und \(x_2\) in unsere Funktion Setzen wir zunächst \(x_1\) ein: \(\begin{aligned} y_1&=f(x_1)=1^3-6\cdot 1^2+9\cdot 1-2\\ &=2 \end{aligned}\) jetzt setzen wir \(x_2\) ein: y_2&=f(x_2)=3^3-6\cdot 3^2+9\cdot 3-2\\ &=-2 Die Funktion besitzt bei \((1|2)\) ein Hochpunkt und bei \((3|-2)\) ein Tiefpunkt. Extrempunkte berechnen (Notwendige Bedingung/Hinreichende Bedingung) | Mathelounge. Es ist ratsam die hinreichende Bedingung zu überprüfen, auch wenn man den Graphen der Funktion gezeichnet hat und die Hochpunkte bzw. Tiefpunkte sehen kann. Lokale und Globale Extrempunkte Bis jetzt haben wir zwei Arten von Extrempunkten kennen gelernt. Zum einen gibt es Hochpunkte und zum anderen Tiefpunkte. Diese zwei werden jedoch nochmals in globale und lokale Extrema unterschieden.
Denn wenn die 1. Ableitung monoton an ihrer Nullstelle fällt, also von positiv zu negativ (das Kriterium für einen Hochpunkt), dann muss die 2. Ableitung negativ sein (1. Ableitung fällt, 2. Ableitung ist negativ). Das Gleiche für einen Tiefpunkt. Ist die 2. Ableitung positiv an der Nullstelle der 1. Ableitung, so bedeutet dies, dass die 1. Ableitung an ihrer Nullstelle steigt, also von negativ zu positiv wechselt. Und weiterhin ist klar, dass die zweite Ableitung in der hinreichenden Bedingung nicht Null sein darf. Denn wenn die zweite Ableitung Null ist, befindet sich in der ersten Ableitung ein Extremum, was Nullstelle zur ersten Ableitung ist und somit würde sich die Steigung der Funktion nicht ändern und es würde sich deshalb nicht um einen Extrempunkt handeln. Extrempunkte auf Hochpunkt und Tiefpunkt untersuchen Gegeben sei die Funktion: Ihre erste Ableitung ist: Die notwendige Bedingung, dass die erste Ableitung Null wird ist an den Stellen x = – 2 und x = 4 erfüllt. Die hinreichende Bedingung ist, dass diese Stellen in der zweiten Ableitung eingesetzt nicht Null ergeben.
Hallo, warum gibt es beim Berechnen von Wende- und Extrempunkte hinreichende und notwendige Bedingungen? Also warum werden diese Bedingungen überhaupt in hinreichend und notwendig eingeteilt? Ich erkläre es mal anhand von Extrempunkten: Sei f:(a, b) -> lR eine 2-mal stetig differenzierbare Funktion auf dem offenen Intervall (a, b) in lR und x in (a, b). Dann gilt: (1) Falls f in x ein lokales Extremum besitzt, so ist f'(x) = 0. Sei nun f'(x) = 0, dann gilt: (2) Falls f''(x) < 0, so hat f in x ein Maximum. (3) Falls f"(x) > 0, so hat f in x ein Minimum. Also aus dem Vorliegen eines Extremums in x folgt wegen (1) also immer, dass f' in x verschwindet. f'(x) = 0 ist daher notwendig für das Vorliegen eines Extremums. Deswegen sagen wir: f'(x) = 0 ist eine notwendige Bedingungen für das Vorliegen eines Extremums von f in x. Allerdings ist die Bedingung f'(x) = 0 nicht hinreichend für das Vorlegung eines Extremums von f in x, wie z. B. f(x):= x^3 zeigt. In diesem Fall ist f'(0) = 0, aber f besitzt in 0 kein Extremum.