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3. 5 Ableitung gebrochenrationaler Funktionen Wir wissen bereits aus Kapitel 2. 3, wie man Polynome, also ganzrationale Funktionen ableitet. Die Ableitung gebrochenrationaler Funktionen läuft nicht viel anders, man muss jedoch noch einen zusätzlichen Satz, die sog. Quotientenregel kennen: Beim Ableiten einer gebrochenrationalen Funktion muss man also die Zählerfunktion g(x) sowie die Nennerfunktion h(x) getrennt voneinander ableiten, und am Ende das Ergebnis in die obige Formel einsetzen. Rechenbeispiel Nächstes Kapitel: 3. 6 Extremwerte, Wende- und Terassenpunkte, Symmetrie | Inhalt | Alle Texte und Bilder © 2000 - 2008 by Henning Koch
Wenn Sie die Funktion "2 durch x" ableiten wollen, können Sie dies mit ein bisschen Geschick und Regeln der Potenzrechnung mit der ganz normalen Ableitungsregel erledigen. Manchmal helfen Rechenkünste beim Ableiten. © VGMeril / Pixelio Was Sie benötigen: Bleistift und Papier Ableitungsregel für ganz-rationale Funktion etwas Zeit und Geduld 2 durch x ableiten - so gehen Sie vor Die Funktion f(x) = 2/x wird als gebrochen-rational bezeichnet, da die Variable x im Nenner des Funktionsterms steht. Diese Funktion können Sie leicht ableiten, wenn Sie die Regel zum Bilden der Ableitung für ganzrationale Funktionen der Art f(x) = x n anwenden. Die Ableitung hierfür lautet: f'(x) = n * x n-1 (Formelsammlung) Diese beliebte und bekannte Formel können Sie nicht nur auf natürliche Exponenten n anwenden, sondern auch auf ganzzahlige und sogar rationale (Brüche) oder reelle Hochzahlen anwenden. Ziel ist es also, die Funktion f(x) = 2/x auf solch eine Hochzahl zu bringen. Sie suchen die Stammfunktion einer Funktion, bei der die Unbekannte x im Nenner steht?
In diesem Kapitel schauen wir uns an, was gebrochenrationale Funktionen sind. Erforderliches Vorwissen Was ist eine Funktion? Bestandteile Eine Funktion besteht aus Funktionsgleichung, Definitionsmenge und Wertemenge. Funktionsgleichung Eine gebrochenrationale Funktion ist eine Funktion, bei der sich sowohl im Zähler als auch im Nenner eines Bruchs eine ganzrationale Funktion befindet. Zu den ganzrationalen Funktionen zählen u. a. lineare Funktionen und quadratische Funktionen. Beispiel 1 $$ f(x) = \frac{x^4}{x-1} $$ Beispiel 2 $$ f(x) = \frac{x + 4}{x^3+x} $$ Beispiel 3 $$ f(x) = \frac{x^2 - 5x + 3}{x^2 + 4x - 5} $$ Definitionsmenge Die Definitionsmenge $\mathbb{D}_f$ ist die Menge aller $x$ -Werte, die in die Funktion $f$ eingesetzt werden dürfen. In gebrochenrationale Funktionen dürfen wir grundsätzlich alle reellen Zahlen – außer die, für die der Nenner gleich Null wird – einsetzen: Zur Erinnerung: Eine Division durch Null ist nicht erlaubt! Beispiel 4 Gegeben sei die Funktion $$ f(x) = \frac{x^4}{x-1} $$ Bestimme die Definitionsmenge.
Ableitungen von Hyperbelfunktionen Hyperbeln, also Funktionen der Form, sind der einfachste Sonderfall von gebrochenrationalen Funktionen. Für ihre Ableitung gilt: Schreibt man für die Hyperbelfunktion, so zeigt sich, dass die Ableitungen entsprechend der Ableitungsregel für Potenzfunktionen gebildet werden können: Die Ableitungsregel für Potenzfunktionen gilt also nicht nur für positive rationale Werte von, sondern allgemein für negative ganzzahlige Werte von. Ableitungen von Potenzfunktionen mit rationalem Exponenten Um zu zeigen, dass die Ableitungsregel für Potenzfunktionen allgemein für jede rationale Zahl mit gilt, muss eine weitere Ableitungsregel verwendet werden: Besteht eine Funktion aus einer Verkettung zweier Einzelfunktionen und, so lässt sich die Ableitung von nach der so genannten "Kettenregel" berechnen: Dabei wird zunächst die äußere Funktion abgeleitet, die innere Funktion bleibt dabei unverändert. Anschließend wird der sich ergebende Term mit der Ableitung der inneren Funktion multipliziert.
Zur Angabe des Grenzverhaltens verwenden sie die Grenzwertschreibweise. überprüfen rechnerisch, ob die Graphen von Funktionen achsensymmetrisch bezüglich der y‑Achse bzw. punktsymmetrisch bezüglich des Koordinatenursprungs sind. beschreiben, welche Änderungen an einem Funktionsterm dazu führen, dass der zum geänderten Funktionsterm gehörige Graph gegenüber dem ursprünglichen Graphen in x‑ oder y‑Richtung verschoben, in x‑ oder y‑Richtung gestreckt bzw. an einer Koordinatenachse gespiegelt ist. Sie sind sich bewusst, dass bei der Kombination mehrerer solcher Transformationen die Reihenfolge der Ausführung von Bedeutung sein kann. Sie demonstrieren und erläutern diese Zusammenhänge – auch unter Verwendung einer geeigneten Mathematiksoftware – und argumentieren mit ihnen, z. B. bei der Zuordnung von Funktionstermen zu Funktionsgraphen und umgekehrt. unterscheiden auf der Grundlage einer anschaulichen Vorstellung von Stetigkeit anhand von Beispielen für abschnittsweise definierte Funktionen Graphen stetiger Funktionen von Graphen nicht stetiger Funktionen.
lautet: In Kurzform: Am besten leitest du g(x) und h(x) einzeln ab und setzt diese dann in die Quotientenregel ein. So vermeidest du unnötige Fehler Beispielaufgaben In den folgenden Übungsaufgaben zur Quotientenregel wird auf die anderen Ableitungsregeln zurückgegriffen. Falls du diese Regeln nicht mehr im Kopf haben solltest, dann schau dir doch noch unsere anderen Seiten dazu an. 1. Beispielaufgabe Unsere Funktion lautet: a) Zuerst leiten wir die Funktionen g(x) und h(x), also den Zähler und den Nenner, ab: b) Jetzt setzen wir die einzelnen Teilfunktionen in die Formel ein: 2. Beispielaufgabe Unsere Funktion lautet: a) Einzelfunktionen und ihre Ableitungen: b) Mit der Quotientenregel erhält man: 4. Beispielaufgabe Unsere Funktion lautet: a) Einzelfunktionen und ihre Ableitungen: b) Mit der Quotientenregel erhält man: Quotientenregel - Das wichtigste auf einen Blick Falls im Zähler UND im Nenner einer Funktion ein "x" vorkommt, muss diese Regel angewendet werden. Hier musst du zwei Schritte beachten: Bilde zunächst die Ableitungen der Teilfunktionen g(x) und h(x) Setze die einzelnen Teilfunktionen in die Formel ein: Unser Tipp für Euch Mit dieser Merkhilfe könnt ihr euch diese etwas kompliziertere Regel ganz leicht merken.
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