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Zusammenhang zwischen Funktion und Ableitungsfunktion* - 1_406, AN3. 2, Lückentext Lösungserwartung ausblenden Lösungserwartung: Zusammenhang zwischen Funktion und Ableitungsfunktion* - 1_406, AN3. 2, Lückentext
Charakterisierung vom Sinus und Kosinus [ Bearbeiten] Aufgabe (Charakterisierung von Sinus und Cosinus) Seien zwei differenzierbare Funktionen mit Beweise: Es gilt für alle Es gibt genau ein Funktionenpaar, welches die obigen Bedingungen erfüllt, nämlich und. Hinweis: Betrachte bei der zweiten Teilaufgabe die Hilfsfunktion. Lösung (Charakterisierung von Sinus und Cosinus) Lösung Teilaufgabe 1: Wir betrachten die Hilfsfunktion wobei und die Bedingungen von oben erfüllen. Dann ist mit der Summen- und Kettenregel differenzierbar, und es gilt Nach dem Kriterium für Konstanz ist daher für ein. Nach den Vorraussetzungen gilt Also ist und es gilt die Behauptung. Lösung Teilaufgabe 2: Wir betrachten die differenzierbare Hilfsfunktion Für diese gilt Nach dem Kriterium für Konstanz ist daher mit. Zusammenhang zwischen funktion und ableitungsfunktion deutsch. Auf Grund der Voraussetzungen gilt Also ist. Nun ist sowohl und für alle. Damit also die Summe gleich Null sein kann, müssen beide Summanden und gleich Null sein. Es folgt Damit ist und, was zu beweisen war.
Wenn man nach praktischen Anwendungen der Differentialrechnung sucht, wird man meist zuerst auf die sogenannten Extremwertaufgaben verwiesen. In der Tat sind für das Verhalten von Funktionen die Stellen im Kurvenverlauf von besonderer Bedeutung, an denen die Funktion ein Minimum oder Maximum aufweist. Deshalb wollen wir jetzt untersuchen, wie man diese Stellen selbst berechnen kann. Ein grafikfähiger Taschenrechner kann das ohnehin. Im Abschnitt (B) haben wir gerade die Monotonie von Funktionen mit Hilfe der 1. Ableitung nachgewiesen. Führt man die dort angestellten Überlegungen weiter, könnte man sich die Frage stellen, ob es nicht auch Stellen der Funktion gibt, an denen die 1. Konstanzkriterium: Zusammenhang zwischen Konstanz einer Funktion und ihrer Ableitung – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher. Ableitung weder größer noch kleiner als Null ist, sondern eben genau den Wert Null annimmt. Dazu bleiben wir zunächst bei der Beispielfunktion von oben und bilden sozusagen einen dritten Fall. 3. Fall 2x+2 =0 |-2 2x =-2 |:2 x =-1 Die Abbildung zeigt, dass die Funktion an dieser Stelle offensichtlich ein Extremwert besitzt, in diesem Fall ein Minimum (oder einen Tiefpunkt).