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Die Zweipunkteform oder Zwei-Punkte-Form ist in der Mathematik eine spezielle Form einer Geradengleichung. In der Zweipunkteform wird eine Gerade in der euklidischen Ebene oder im euklidischen Raum mit Hilfe zweier Punkte der Geraden dargestellt. Die Koordinatendarstellung einer Gerade in der Ebene erfolgt in der Zweipunkteform mit Hilfe des Steigungsdreiecks der Geraden. In Vektordarstellung dient der Ortsvektor eines der beiden Punkte als Stützvektor der Gerade, während der Differenzvektor zu dem Ortsvektor des anderen Punkts den Richtungsvektor der Gerade bildet. Zweipunkteform – Wikipedia. Die der Zweipunkteform entsprechende Form einer Ebenengleichung wird Dreipunkteform genannt. Koordinatendarstellung [ Bearbeiten | Quelltext bearbeiten] Darstellung [ Bearbeiten | Quelltext bearbeiten] Zweipunkteform einer Geradengleichung In der Zweipunkteform wird eine Gerade in der Ebene, die durch die beiden verschiedenen Punkte und verläuft, als die Menge derjenigen Punkte beschrieben, deren Koordinaten die Gleichung erfüllen.
$$ A = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} \;\;\; B = \begin{pmatrix} 3 \\ 5 \\ 7 \end{pmatrix} A und B sind Punkte der Geraden. B-A ist die Richtung der Geraden von A aus. Eine Gerade durch zwei Punkte A und B kann folgendermaßen dargestellt werden: g: \overrightarrow{x} = A + r (B-A) $\overrightarrow{c} = B-A$ ist gerade der Vektor vom Punkt A zu Punkt B. $\overrightarrow{c}$ ist der Richtungsvektor. Vektor aus zwei punkten der. Seine Länge ist nicht entscheidend, sondern nur seine Richtung, denn er wird ja sowieso mit einer Zahl multipliziert. B-A = \begin{pmatrix} 3 \\ 5 \\ 7 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2\\3\\4 \end{pmatrix} $$ g: \vec{x} = \begin{pmatrix} 1\\2\\3 \end{pmatrix} + r \begin{pmatrix} 2\\3\\4 \end{pmatrix} Hinweis: Richtungsvektor Ihnen sind als Punkte A und C gegeben: C = \begin{pmatrix} 2 \\ 3{, }5 \\ 5 \end{pmatrix} C-A = \begin{pmatrix} 1\\1{, }5\\2 \end{pmatrix} Es empfiehlt sich, als Richtungsvektor einen Vektor zu wählen, der keine Brüche oder Dezimalzahlen enthält (und möglichst keine Vielfache).
Hierbei müssen und verschieden sein und darf nicht gleich gewählt werden. Wird die Geradengleichung nach aufgelöst, erhält man die explizite Darstellung, die auch für verwendet werden kann. Ohne Einschränkung gültig ist die Darstellung. Beispiel [ Bearbeiten | Quelltext bearbeiten] Sind beispielsweise die beiden gegebenen Geradenpunkte und, so erhält man als Geradengleichung oder aufgelöst nach beziehungsweise. Herleitung [ Bearbeiten | Quelltext bearbeiten] Diese Darstellung einer Geradengleichung folgt daraus, dass für die Steigung einer Gerade gilt. Nach dem Strahlensatz kann nun anstelle des Punkts ein beliebiger Geradenpunkt gewählt werden, ohne dass sich das Verhältnis verändert. Damit gilt dann auch. Vektorrechnung einfach erklärt - Schritt für Schritt!. Durch Gleichsetzen dieser beiden Gleichungen folgt daraus dann die Zweipunkteform. Letztere Gleichung entspricht der Punktsteigungsform einer Geradengleichung. Darstellung als Determinante [ Bearbeiten | Quelltext bearbeiten] Eine Gerade, die durch zwei vorgegebene Punkte verläuft, kann mit Hilfe der Determinante einer Matrix auch über die Gleichung oder äquivalent dazu durch definiert werden.
Wir berechnen zunächst die Steigung: $m=\dfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1}=\dfrac{\color{#a61}{6}-\color{#1a1}{1}}{\color{#f61}{8}-(\color{#f00}{-2})}=\dfrac{5}{10}=\dfrac 12$ Anschließend setzen wir in die Punktsteigungsform ein: $\begin{align*}y&=m(x-x_1)+y_1\\ &=\tfrac 12(x-(\color{#f00}{-2}))+\color{#1a1}{1}\\&=\tfrac 12x+1+1\\ y&=\tfrac 12x+2\end{align*}$ Die gesuchte Gerade hat also die Gleichung $g\colon y=\tfrac 12x+2$. Natürlich können Sie im zweiten Schritt auch andere Wege verwenden (den Punkt $B$ einsetzen; in die Normalform einsetzen). Was geschieht, wenn man die Koordinaten der Punkte in anderer Reihenfolge in die Steigungsformel einsetzt? Wir erhalten dieselbe Steigung, wie es sein muss: $m=\dfrac{1-6}{-2-8}=\dfrac{-5}{-10}=\dfrac 12$ Sowohl im Zähler als auch im Nenner entsteht ein anderes Vorzeichen, was sich beim Dividieren wieder "aufhebt". Vektor aus zwei punkten 2020. Es ist hier also nicht schlimm, wenn Sie die Reihenfolge der Punkte vertauschen. Es gibt jedoch in der Mathematik so viele Strukturen vom Typ "Ende minus Anfang", dass ich Ihnen empfehle, bei der oben aufgeführten Form zu bleiben.