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Lesezeit: 7 min Ein gleichseitiges Dreieck hat drei gleich lange Seiten. Dadurch herrscht Symmetrie. Zudem sind die drei Winkel im Dreieck gleich groß. Es gilt: a = b = c sowie α + β + γ. Die Fläche wird mit A angegeben (nicht zu verwechseln mit dem Punkt A). Flächeninhalt dreieck gleichseitig formel. Die Flächenformel lautet: \( A = \frac { \sqrt { 3}} { 4} · a^2 \) Oder alternativ wie bei allen Dreiecken: \( A = \frac{a·h}{2} \) Herleitung der Flächenformel Schauen wir uns an, wie man von \( A = \frac{a·h}{2} \) auf die Flächenformel \( A = \frac { \sqrt { 3}} { 4} · a^2 \) kommt. Zuerst beschriften wir alle drei Seiten des Dreiecks mit a, da sie gleich lang sind ( a = b = c): Nun können wir eine Höhe h in unser Dreieck einzeichnen: Die Fläche ergibt sich also aus beiden Hälften des Dreiecks.
Dieser Punkt teilt die Höhen, z. B., im Verhältnis d. h. Wie im nebenstehenden Bild erkennbar, fällt der Feuerbachkreis (hellblau) mit dem Inkreis (rot) zusammen; für beide gilt der gleiche Radius Sätze [ Bearbeiten | Quelltext bearbeiten] Konstruiert man über den Seiten eines beliebigen Dreiecks gleichseitige Dreiecke, so bilden die drei Schwerpunkte dieser gleichseitigen Dreiecke ein weiteres gleichseitiges Dreieck, das sogenannte Napoleon-Dreieck. Die Eigenschaft, dass die drei Schwerpunkte unabhängig von der Form des Ausgangsdreiecks immer ein gleichseitiges Dreieck bilden wird auch als Satz von Napoleon bezeichnet. Gleichseitiges Dreieck. Das Morley-Dreieck ist ein weiteres gleichseitiges Dreieck, das aus einem beliebigen Dreieck durch bestimmte Konstruktionsvorschrift entsteht. Die Eigenschaft, dass man dabei immer ein gleichseitiges Dreieck erhält wird entsprechend als Satz von Morley bezeichnet. Der Satz von Viviani besagt für einen Punkt im Inneren eines gleichseitigen Dreiecks, dass die Summe der Abstände des Punktes von den Dreiecksseiten der Länge der Höhe des Dreiecks entspricht.
Jeder der beiden Schnittpunkte der Kreise bildet mit den Endpunkten der vorgegebenen Strecke ein gleichseitiges Dreieck. [1] Ist stattdessen der Umkreis des gleichseitigen Dreiecks vorgegeben, so zeichnet man zunächst eine Gerade durch den Kreismittelpunkt M. Diese schneidet den Kreis in zwei Punkten C und D. Dann schlägt man einen Kreisbogen mit dem Radius des Umkreises um den Punkt D. Dieser schneidet den Umkreis in den Punkten A und B. Die Punkte A, B und C sind die Ecken des gesuchten gleichseitigen Dreiecks. [2] Gleichseitiges Dreieck, Seitenlänge vorgegeben Gleichseitiges Dreieck, Umkreis vorgegeben Ausgezeichnete Punkte [ Bearbeiten | Quelltext bearbeiten] Gleichseitiges Dreieck mit fünf ausgezeichneten Punkten Im gleichseitigen Dreieck schneiden sich die Höhen, die Mittelsenkrechten (Seitensymmetralen), die Seitenhalbierenden (Schwerelinien) und die Winkelhalbierenden in einem gemeinsamen Punkt. Daher sind auch die fünf ausgezeichneten Punkte, der Höhenschnittpunkt, der Umkreismittelpunkt, der Schwerpunkt, der Inkreismittelpunkt und der Mittelpunkt des Feuerbachkreises derselbe Punkt.