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Beliebteste Videos + Interaktive Übung Wurzelausdrücke addieren und subtrahieren Wurzelausdrücke vereinfachen – Zerlegung in Produkt und Division Erstes Wurzelgesetz Inhalt Was ist eine Wurzel? Der Wurzelexponent Rechenregeln für Wurzeln 1. Wurzelgesetz: Produkt von Wurzeln 2. Wurzelgesetz: Quotient von Wurzeln Addition und Subtraktion von Wurzeln Wurzeln von Wurzeln Potenzen von Wurzeln Vereinfachen von Wurzeltermen Zusammenhang zwischen Wurzeln und Potenzen Weitere Eigenschaften Was ist eine Wurzel? In der Mathematik versteht man unter dem Ziehen einer Wurzel die Bestimmung der Unbekannten $x$ in der Gleichung $a=x^n$. Quadratwurzeln - Grundrechenarten, teilweise radizieren - Mathematikaufgaben und Übungen | Mathegym. Die Lösung dieser Gleichung ist $x=\sqrt[n]{a}$. Dabei sind $n\in\mathbb{N}$ der Wurzelexponent und $a\in\mathbb{R}^+_0$ der Radikand. Der Wurzelexponent Der Wurzelexponent $2$ wird nicht aufgeschrieben. So ist $\sqrt{25}=\sqrt[2]{25}$ die Quadratwurzel von $25$. Das Ziehen der Quadratwurzel ist die Umkehroperation zum Quadrieren. Die Kubikwurzel ist die Wurzel mit dem Wurzelexponenten $3$.
In diesem Kapitel schauen wir uns an, wie man Wurzeln dividert. Voraussetzung Eine Division durch Null ist nicht erlaubt. Quotienten von gebrochenen Exponenten berechnen (Video) | Khan Academy. Gleichnamige Wurzeln dividieren Anleitung $$ \frac{\sqrt[{\color{green}n}]{a}}{\sqrt[{\color{green}n}]{b}} = \sqrt[{\color{green}n}]{\frac{a}{b}} $$ In Worten: Zwei Wurzeln mit gleichem Wurzelexponenten werden dividiert, indem man die Wurzel aus dem Quotienten der Radikanden zieht. Der Wurzelexponent verändert sich beim Dividieren nicht. Er wird einfach beibehalten.
Wie das geht, erfährst du in einem anderen Kapitel. Zurück Vorheriges Kapitel Weiter Nächstes Kapitel
Die allgemeine Regel ergibt die Potenz eines Quotienten \[ \left( \frac{a}{b} \right)^n = \frac{a^n}{b^n} \] Die beiden Regeln lassen sich einerseits kombinieren, andererseits gilt die Regel für die Potenz eines Produkts auch bei mehr als zwei Faktoren. So kann man z. B. schreiben \[ \left( \frac{abc}{de} \right)^4 = \frac{a^4b^4c^4}{d^4e^4} \,. \] Potenz einer Summe oder Differenz: Vorsicht! Bei einer Summe oder Differenz kann man die oben erklärten Regeln nicht auf die selbe Weise anwenden! Für den Exponenten 2 haben wir z. die binomischen Formeln \[ \left( a+b \right)^2 =a^2 + 2ab + b^2 \,, \] und dies ist nicht dasselbe wie \(a^2 + b^2\). Quadratwurzeln von Quotienten. Genauso gilt bei einer Differenz \[ \left( a-b \right)^2 =a^2 - 2ab + b^2 \neq a^2 - b^2 \,. \] Ebensowenig funktioniert dies bei höheren Exponenten. Bei Potenzen von Summen und Differenzen ist also Vorsicht geboten; in diesem Fall müssen wir z. binomische Formeln anwenden. Die linke und rechte Seite unten sind daher normalerweise nicht gleich: \[ \left( a\pm b \right)^n \neq a^n \pm b^n \] Gleichheit würde nur bei dem uninteressanten Fall \(n=1\) gelten.
Wenn wir ein Produkt potenzieren, können wir dies tun, indem wir den Exponenten an jeden Faktor einzeln hinschreiben. Das sieht man am besten an einem Beispiel: \[ \left( a b \right)^3 = (a \cdot b) \cdot (a \cdot b) \cdot (a \cdot b) = \cdots \] Auf der rechten Seite können wir die Klammern aber weglassen, da in dem Ausdruck nur Multiplikationen vorkommen (und somit das Assoziativgesetz gilt). Auch dürfen wir die Reihenfolge der Faktoren vertauschen (Kommutativgesetz), so dass der Ausdruck als \[ \cdots = a \cdot b \cdot a \cdot b \cdot a \cdot b = \underbrace{a \cdot a \cdot a}_{a^3} \cdot \underbrace{b \cdot b \cdot b}_{b^3} = a^3 b^3 \] geschrieben werden kann. Also ist \( \left( a b \right)^3 = a^3 b^3 \), was man durch Überlegen leicht für beliebige natürliche Exponenten verallgemeinern kann. Als allgemeine Regel ist die Potenz eines Produkts \(\left( a b \right)^n = a^n b^n \) Auch bei einem Quotienten gilt eine ähnliche Regel, wie wir anhand des folgenden Beispiels sehen: \[ \left( \frac{a}{b} \right)^3 = \frac{a}{b} \cdot \frac{a}{b} \cdot \frac{a}{b} = \frac{a \cdot a \cdot a}{b \cdot b \cdot b} = \frac{a^3}{b^3} \] Auch diese Beziehung \( \left( \frac{a}{b} \right)^3 = \frac{a^3}{b^3} \) gilt natürlich auch für andere Exponenten.