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Rechenwege zu Ebenengleichungen Hier seht ihr die notwendigen Formeln zum Berechnen von Ebenengleichungen: Drei Punkte gegeben Umwandlung von Koordinatenform in Parameterform Umwandlung von Koordinatenform in Normalenform Umwandlung von Parameterform in Koordinatenform Umwandlung von Parameterform in Normalenform Umwandlung von Normalenform in Koordinatenform Umwandlung von Normalenform in Parameterform 1.
Worum geht es hier? Es gibt verschiedene Möglichkeiten, Ebenen darzustellen. Die Parameterform besteht aus einem Stützvektor und zwei Richtungsvektoren der Ebene. Die Normalenform besteht aus einem Stützvektor und einem Vektor, der senkrecht auf der Ebene steht. Die Koordinatenform ist eine Gleichung, die einen Zusammenhang zwischen den Koordinaten von Punkten auf der Ebene aufzeigt. Schnittpunkt zweier Ebenen berechnen, Beispiel 3 | V.02.03 - YouTube. Wie rechnet man von Parameterform in Normalenform um? Normalenform von E: x= ( 3) +r ( 5) +s ( 2) 4 1 4 2 4 4 soll bestimmt werden Normalenvektor berechnen: Kreuzprodukt der Richtungsvektoren bestimmen × = ( 1⋅4-4⋅4) 4⋅2-5⋅4 5⋅4-1⋅2 = Wie rechnet man von Normalenform in Koordinatenform um? Wie rechnet man von Koordinatenform in Parameterform um? Also lässt sich die Ebene wie folgt in Parameterform beschreiben: E: x= ( 0) +r ( 1) +s ( 0) 0 0 1 3 -4 2 Wie kann ich meine Ebene umrechnen? Gib eine Form der Ebenengleichung oben in unseren Rechner ein und Mathepower berechnet die anderen beiden.
Prinzipiell ist es beim Additionsverfahren relativ egal, wie Du vorgehst. Du müsstest automatisch zu einer Geradengleichung gelangen, die dieselbe Gerade beschreibt: die RVen müssen kollinear sein (das sieht man schnell); da es aber unendlich viele Punkte auf einer Geraden gibt, sieht man nicht so schnell, ob der eine Punkt, den man heraus bekommt, auch auf der "anderen" Geraden liegt. So hätte z. Schnittpunkt einer Geraden mit einer Ebene online berechnen. auch herauskommen können: x -13 -10 y = 13 + t · 10 z -13, 5 -5 Klar soweit? Woher ich das weiß: Beruf – Mathestudium
Mathematik 5. Klasse ‐ Abitur Zwei Ebenen E 1 und E 2, die nicht parallel (und nicht identisch! ) sind, schneiden sich in einer Geraden, der Schnittgeraden. Diese bestimmt man, indem man die Gleichungen der beiden Ebenen gleichsetzt und das sich ergebende Gleichungssystem löst. In Parameterform sieht das folgendermaßen aus (natürlich kann man auch andere Darstellungsformen der Ebenengleichung wählen oder aber eine andere Darstellungsform in die Parameterform umwandeln): \(\vec a_1 +\lambda_1\vec u_1 + \mu_1\vec v_1 = \vec a_2 +\lambda_2\vec u_2 + \mu_2\vec v_2\) Da das System insgesamt vier freie Parameter hat ( \(\lambda_1, \ \mu_1, \ \lambda_2\) und \(\mu_2\)), aber nur drei Gleichungen enthält (für jede Vektorkomponente eine), besitzt die Lösung noch genau einen freien Parameter, sie ist also tatsächlich eine Gerade. Beispiel: \(E_1\! : \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} + \lambda_1 \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} + \mu_1 \cdot \begin{pmatrix} 4 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix}\ \ (\lambda_1, \ \mu_1 \in \mathbb{R})\) \(E_2\!
Klar. Das hier ist Mathepower. Gib doch einfach, so lange du Lust hast, Geraden und Ebenen ein und lass dir ihren Schnittpunkt ausrechnen.
Aufgabe: Schnittpunkte finden von g: x= ( 1) +r ( 1) 3 0 4 1 und g: x= ( 2) +r ( 1) 4 3 5 2 Die Richtungsvektoren sind nicht linear abhängig. ): ( 1) +r ( 1) = ( 2) +s ( 1) 3 0 4 3 4 1 5 2 Das liefert das folgende Gleichungssystem: 1 +r = 2 +s 3 = 4 +3s 4 +r = 5 +2s Das Gleichungssystem löst man so: r -1s = 1 -3s = 1 r -2s = 1 ( Variablen wurden nach links gebracht, Zahlen nach rechts. ) r -1s = 1 -3s = 1 -1s = 0 ( das -1-fache der ersten Zeile wurde zur dritten Zeile addiert) r -1s = 1 -3s = 1 0 = -0, 33 ( das -0, 33-fache der zweiten Zeile wurde zur dritten Zeile addiert) dritte Zeile: 0s = -0, 33 Nicht möglich, da 0 mal irgendwas immer 0 und nie -0, 33 ist. Es gibt keine Schnittpunkte. Also sind die Geraden windschief. Wie rechnet man nach, dass zwei Geraden parallel sind? Aufgabe: Schnittpunkte finden von g: x= ( 1) +r ( 2) 3 0 4 6 und g: x= ( 2) +r ( 3) 5 0 2 9 Die Richtungsvektoren sind linear abhängig: 1, 5⋅ = Also sind die Geraden entweder identisch oder parallel. Weiterer Lösungsweg: Stützvektor der hinteren Geraden in die vordere Gerade einsetzen.