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Jede Menge von Punkten, in denen Konvergenz vorliegt, wird Konvergenzbereich genannt. Jede Zusammenhangskomponente des Inneren der Menge aller Punkte, in denen die Folge konvergiert, ein maximales Konvergenzgebiet. Bemerkung: In Randpunkten eines Konvergenzgebietes oder eines Konvergenzbereiches muss keine absolute Konvergenz vorliegen, die entsprechende Reihe kann im Wertebereich sogar divergent sein. Der klassische Satz von Cauchy-Hadamard [ Bearbeiten | Quelltext bearbeiten] Die folgenden Aussagen über die Konvergenzbereiche von komplexen Potenzreihen wurden (im Wesentlichen) zunächst von Augustin Louis Cauchy 1821 formuliert [1], aber allgemein kaum zur Kenntnis genommen ( Bernhard Riemann verwendete sie allerdings 1856 in seinen Vorlesungsnotizen) [2] [3], bis sie von Jacques Hadamard wiederentdeckt wurden. [4] Dieser veröffentlichte sie 1888. [5] Daher werden sie (und einige moderne Verallgemeinerungen) als Formel oder auch Satz von Cauchy-Hadamard bezeichnet. Modern, aber noch ohne Verallgemeinerungen auf andere als Potenzreihen formuliert, besagt der Satz von Cauchy-Hadamard: Sei, und mit für jedes, d. Konvergenzkriterien für Reihen - Matheretter. h. die Funktionenreihe sei eine komplexe Potenzreihe.
Dann gilt: Die offene Kreisscheibe um den Nullpunkt mit Radius gehört zum maximalen Konvergenzbereich, falls für alle bis auf endlich viele erfüllt ist. Das Komplement der abgeschlossenen Kreisscheibe schneidet den maximalen Konvergenzbereich nicht, wenn für unendlich viele gilt. Es gibt einen Radius, bei dem sich die beiden vorgenannten Aussagen "treffen". Als Konvergenzradius wird bezeichnet, falls der limes superior als reelle Zahl, also im eigentlichen Sinn existiert und nicht 0 ist. Ist der limes superior 0, dann ist der Konvergenzradius, ist der limes superior, dann ist der Konvergenzradius. Der maximale Konvergenzbereich der Potenzreihe enthält die offene Kreisscheibe um 0 mit Radius. Im Falle ist dies die leere Menge, sonst das maximale Konvergenzgebiet. Die Potenzreihe konvergiert in allen Punkten, deren Abstand zur Null kleiner als der Konvergenzradius ist. Außerdem divergiert sie in allen Punkten, deren Abstand größer ist. Über die Konvergenz in Punkten, deren Abstand zum Nullpunkt genau ist (d. Konvergenz von reihen rechner le. h. die Kreislinie mit diesem Radius), kann keine allgemeine Aussage gemacht werden.
Dieser Satz ist notwendig und hinreichend. \mathop {\lim}\limits_{n \to \infty} \left| { {a_n}} \right| < 1 Gl. 182
Ein Konvergenzbereich ist in der Analysis, einem Teilgebiet der Mathematik, einer Funktionenfolge oder (häufiger) Funktionenreihe zugeordnet und bezeichnet eine (oft auch die im Sinne der Inklusion maximale) Menge von Punkten im Definitionsbereich, in denen die Funktionenreihe punktweise konvergiert. Konvergenzgebiete sind Gebiete, also offene, zusammenhängende Teilmengen von Konvergenzbereichen. Die Begriffe Konvergenzbereich und -gebiet verallgemeinern die Begriffe "Konvergenzintervall" bzw. Konvergenz von reihen rechner un. "Konvergenzkreisscheibe" aus der elementaren, reellen Analysis und der elementaren Funktionentheorie. Konvergenzkriterien für Funktionenfolgen und -reihen werden aus historischen Gründen gelegentlich als (verallgemeinerte) Cauchy-Hadamard-Formeln bezeichnet. Der klassische Satz von Cauchy-Hadamard formuliert solche Kriterien für komplexe Potenzreihen. Häufig gebrauchte Funktionenreihen [ Bearbeiten | Quelltext bearbeiten] Die im Folgenden betrachteten Reihen sind immer als komplexe Reihen zu verstehen, das heißt ihre Koeffizienten sind komplex, die unabhängige Variable ist komplex, die Glieder der Reihen sind auf einer Teilmenge von definierte Funktionen und ihre Konvergenzgebiete und -bereiche sind Teilmengen von.
Die Dokumentation Goldschmidts Kinder erzählt die Geschichte der Schule. [3] Emigration [ Bearbeiten | Quelltext bearbeiten] Kaum ein Land war 1937/38 bereit, jüdische Flüchtlinge aufzunehmen. Zusammen mit ihrem Ehemann versuchte Leonore Goldschmidt, eine Filiale der Goldschmidt-Schule in England zu eröffnen. Sie bat die britische Regierung, die Evakuierung der Kinder nach England zu finanzieren; die Regierung meinte allerdings, keine akute Gefahr für das Leben der Kinder erkennen zu können. Nach dem 9. November 1938 durften die Kinder (ohne Begleitung von Angehörigen) mit dem Kindertransport ab Bremerhaven nach England einreisen [4]. Leonore Goldschmidt verließ Deutschland im Juni 1939 und kehrte nie dorthin zurück. Bis zum Mai 1940 führte sie im englischen Folkestone ihre Schule weiter. Von 1940 bis 1968 arbeitete sie als Lehrerin an verschiedenen privaten und öffentlichen Schulen in England. Nach ihrer Pensionierung studierte sie Russisch und lebte bis zu ihrem Tod 1983 in London. Ehrungen [ Bearbeiten | Quelltext bearbeiten] Die Ausstellung "Hier ist kein Bleiben länger" (Zitat Nelly Sachs) des Museums Wilmersdorf (heute: Museum Charlottenburg-Wilmersdorf) erinnerte vom 19. März bis 18. September 1992 an fünf Gründerinnen jüdischer Schulen in Wilmersdorf: Leonore Goldschmidt (1897–1983), Lotte Kaliski (1908–1995), Vera Lachmann (1904–1985), Toni Lessler (1874–1952) und Anna Pelteson (1868–1943).
Die Private Jüdische Schule Dr. Leonore Goldschmidt erhielt 1936 die offizielle Abiturlizenz und 1937 den Status eines Examination Centre of the University of Cambridge. Der bilinguale Schulabschluss ermöglichte den Schülern den Zugang zu den englischsprachigen Universitäten in Europa und Nordamerika und erleichterte ihnen damit die Emigration. 1937 zählte die Schule 520 Schüler und 40 Lehrer. Von den Zerstörungen der Novemberpogrome 1938 blieb die Schule verschont. Aber es war nur eine Frage der Zeit, bis auch Schüler und Schule ins Visier der Nazis gerieten. Ihr Mann erhielt eine Warnung einer bevorstehenden Verhaftung. Es gelang ihm aber, mit Hilfe der britischen Botschaft und einem gültigen Visum nach England zu entkommen. Leonore Goldschmidt selbst gab bei der britischen Botschaft an, die Schule für zehn Reichsmark an Philip Woolley verkaufen zu wollen. Der Beamte bezweifelte zwar die Legalität dieser Transaktion, fertigte aber die entsprechenden Papiere aus. Diese Papiere sicherten den Fortbestand der Schule, da sie jetzt in ausländischem Besitz war.
In Hannover-Mühlenberg ist eine Schule nach Leonore Goldschmidt benannt. [5] Literatur [ Bearbeiten | Quelltext bearbeiten] Martin Schönfeld: Gedenktafeln in West-Berlin. Herausgeber: Aktives Museum Faschismus und Widerstand in Berlin e. V., 1993. Holger Hübner: Das Gedächtnis der Stadt. Argon Verlag, Berlin 1997, ISBN 3-87024-379-1 Dokumentarfilm [ Bearbeiten | Quelltext bearbeiten] Goldschmidts Kinder – Überleben in Hitlers Schatten, ARD, 2017 [6] Weblinks [ Bearbeiten | Quelltext bearbeiten] Beschreibung des Kiezspaziergangs vom 13. November 2004 Gertrud Thompson: Dr. Leonore Goldschmidt Schule 1935–1941 (englisch) [1] Original Filmaufnahmen aus der Goldschmidt Schule 1937 Einzelnachweise [ Bearbeiten | Quelltext bearbeiten] ↑ Geschichte der Dr. Leonore Goldschmidt School (in Englisch) von Gertrud Thompson (geb. Goldschmidt) ↑ Angabe aus den Festschriften 75 bzw. 100 Jahre Walther-Rathenau-Oberschule ↑ Thomas Gehringer: Die Goldschmidt-Schule in Berlin. Lernen ohne Angst. In: Der Tagesspiegel.
Ernst Goldschmidt verlässt Deutschland bereits am 10. November 1938. Dr. Leonore Goldschmidt verlässt Deutschland endgültig am 20. Juli 1939. Ihre Schule wird in Folkestone wiedereröffnet. Einige Lehrer der Schule waren am 9. November verhaftet worden, kommen jedoch Anfang Dezember wieder frei. Nicht alle Lehrer und Kinder können Deutschland 1939 verlassen. Auch vielen Eltern der Goldschmidtschüler war die Rettung nicht vergönnt und sie starben in der Todesmaschinerie des Holocaust. Eine ausführliche Schilderung der Geschichte der Goldschmidtschule hat die Tochter von Leonore Goldschmidt verfasst. Die Filmaufnahmen Die Filmaufnahmen des amerikanischen Journalisten Julien Bryan entstanden vermutlich im Sommer 1937 oder im Jahr darauf. Seine Aufnahmen der Goldschmidtschule wurden nie veröffentlicht. Vor einigen Jahren habe ich sie in der Library of Congress gesichtet und eine Scanerlaubnis erhalten. Die HD Scans habe wir technisch bearbeiten und verbessern lassen, ohne die originalen Filmaufnahmen zu stark zu verändern.
Literatur Martin Schönfeld: Gedenktafeln in West-Berlin. Herausgeber: Aktives Museum Faschismus und Widerstand in Berlin e. V., 1993. Holger Hübner: Das Gedächtnis der Stadt. Argon Verlag GmbH, Berlin, 1997, ISBN 3-87024-379-1 Weblinks Beschreibung des Kiezspaziergangs vom 13. November 2004 Dr. Leonore Goldschmidt Schule by Gertrud Thompson (englisch) Personendaten NAME Goldschmidt, Leonore ALTERNATIVNAMEN Tacke, Leonore KURZBESCHREIBUNG deutsch-britische Pädagogin GEBURTSDATUM 16. November 1897 GEBURTSORT Gosda STERBEDATUM 7. März 1983 STERBEORT London
3. November 2013, abgerufen am 4. November 2018. ↑ Claudia Schwartz: Sie gab jüdischen Kindern eine Zukunft | NZZ. 4. November 2013, ISSN 0376-6829 ( [abgerufen am 30. Oktober 2019]). ↑ Website der Leonore-Goldschmidt-Schule ↑ NDR: Goldschmidts Kinder: Überleben in Hitlers Schatten. Abgerufen am 30. Oktober 2019. Personendaten NAME Goldschmidt, Leonore ALTERNATIVNAMEN Tacke, Leonore KURZBESCHREIBUNG deutsch-britische Pädagogin GEBURTSDATUM 16. November 1897 GEBURTSORT Gosda STERBEDATUM 7. März 1983 STERBEORT London