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Mathematik 5. Klasse ‐ Abitur Obersumme und Untersumme spielen eine zentrale Rolle bei der Herleitung des bestimmten Integrals als Flächeninhalt der Fläche zwischen dem Graphen G f einer Funktion f und der x -Achse. Da man in der Geometrie zunächst nur die Flächen von Figuren mit geraden Kanten berechnen kann, nähert man die Fläche unter einer beliebig gekrümmten Begrenzungskurve (nämlich G f) durch eine Abfolge von immer mehr immer schmaleren Rechtecken. Wir nehmen dazu zunächst an, dass f im betrachteten Intervall [ a; b] stetig, nicht negativ und monoton steigend ist. Dann werden der gesuchten Fläche n Rechtecke mit gleicher Breite \((b - a): n\) ein- bzw. umbeschrieben (siehe Abbildung). Die Summe der einbeschriebenen Rechteckflächen (Oberkante unter G f) heißt Untersumme \(\underline{A_n}\), die Summe der umbeschriebenen Rechteckflächen (Oberkante über G f) ist die Obersumme \(\overline{A_n}\). Durch eine fortgesetzte Verkleinerung der Rechtecksbreiten (z. B. Halbierung) erhält man immer bessere Näherungswerte.
Beliebteste Videos + Interaktive Übung Streifenmethode des Archimedes Inhalt Die Streifenmethode des Archimedes Eigenschaften der Unter- und Obersummen Berechnung einer Ober- und Untersumme Allgemeine Berechnung der Untersumme Zusammenhang Ober- und Untersumme mit dem Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung Die Streifenmethode des Archimedes Die Streifenmethode des Archimedes ist ein Verfahren, um Flächen zu berechnen, deren Grenzen nicht geradlinig sind. Hier siehst du das Flächenstück $A$, welches von dem Funktionsgraphen der Funktion $f$ mit $f(x)=x^2$ sowie der $x$-Achse auf dem Intervall $I=[1;2]$ eingeschlossen wird. Die Grenzen $x=1$ und $x=2$ sowie $y=0$ sind geradlinig. Der Abschnitt der abgebildeten Parabel ist nicht gerade. Du kannst nun das Flächenstück $A$ durch Rechtecke näherungsweise beschreiben. Dies siehst du hier anschaulich: Du erkennst jeweils einen Ausschnitt des obigen Bildes, in welchem die Fläche $A$ vergrößert dargestellt ist. Durch Zerlegung des Intervalles $[1; 2]$ in zum Beispiel vier gleich breite Streifen oder auch Rechteckflächen näherte Archimedes die tatsächliche Fläche durch zwei berechenbare Flächen an.
Die Integralrechnung wird zur Berechnung der Fläche in einem Intervall zwischen dem Graphen einer Funktion und der x-Achse genutzt. i Info Bereits 260 v. Chr. entwickelte Archimedes die Streifenmethode, welche den Ursprung der Integralrechnung bildet. Wenn man den Flächeninhalt nun ermitteln will, unterteilt man die Fläche in vertikale Streifen. Dabei ergeben sich zwei Möglichkeiten: Die erste Einteilung der Fläche wird als Untersumme bezeichnet und ist kleiner als der Flächeninhalt. Hier handelt es sich um die Obersumme und die ist größer als der tatsächliche Flächeninhalt. $\text{Untersumme} \le A \le \text{Obersumme}$! Merke Je geringer man die Abstände zwischen den Streifen setzt (also je mehr Streifen), desto genauer wird das Ergebnis. Beispiel $f(x)=x^2$ im Intervall $[0; 1]$ Man kann nun die Flächeninhalte der Rechtecke (Breite ist $0, 25$ und Höhe ist $x^2$) jeweils zusammenrechnen und erhält folgendes: $U=0, 25\cdot (0^2+0, 25^2+0, 5^2+0, 75^2)$ $=\frac{7}{32}$ $O=0, 25\cdot (0, 25^2+0, 5^2+0, 75^2+1^2)$ $=\frac{15}{32}$ $\frac{7}{32} \le A \le \frac{15}{32}$ Bei höherer Streifenanzahl, wird das Ergebnis immer genauer.
Wenn wir dies machen geht $\frac{9}{2n} \to 0$. Demnach konvergieren die Unter- und Obersumme gegen: \lim\limits_{n \to \infty} \underline{A}_n &= 4{, }5 \\ \lim\limits_{n \to \infty} \overline{A}_n &= 4{, }5 Da Unter- und Obersumme übereinstimmen, ist der gemeinsame Grenzwert (hier 4{, }5) die gesuchte Flächengröße. Also ist die Fläche $4{, }5$ FE groß. x Fehler gefunden? Oder einfach eine Frage zum aktuellen Inhalt? Dann schreib einfach einen kurzen Kommentar und ich versuche schnellmöglich zu reagieren.
untersumme = 0, 25*f(0)+0, 25*f(0, 25)+0, 25*f(0, 5)+0, 25*f(o, 75) obersumme = o, 25*f(0, 25)+0, 25*f(0, 5)+0, 25*f(o, 75)+0, 25*f(1) Das lässt sich doch beinahe im Kopf rechnen. Beantwortet 9 Sep 2015 von mathef 251 k 🚀
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