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Mit dem Erzeuger kann nun jedes Element aus eindeutig in der geläufigen Polynomschreibweise dargestellt werden. Die einzelnen Folgenglieder nennt man die Koeffizienten des Polynoms. Damit erhält man den Polynomring über in der Unbestimmten. Der Polynomring in mehreren Veränderlichen [ Bearbeiten | Quelltext bearbeiten] Der Polynomring in mehreren Veränderlichen wird rekursiv definiert durch: Man betrachtet hier also Polynome in der Variablen mit Koeffizienten aus dem Polynomring, wobei dieser wieder genauso definiert ist. Dies kann man solange fortsetzen, bis man bei der Definition des Polynomrings in einer Veränderlichen angekommen ist. In kann man jedes Element eindeutig als schreiben. Physik formel umstellen hilfe für zentripetalkraft?. Der Polynomring in beliebig vielen Unbestimmten (mit einer Indexmenge) kann entweder als der Monoidring über dem freien kommutativen Monoid über oder als der Kolimes der Polynomringe über endliche Teilmengen von definiert werden. Der Quotientenkörper [ Bearbeiten | Quelltext bearbeiten] Ist ein Körper, so ist die Bezeichnung für den Quotientenkörper von, den rationalen Funktionenkörper.
Dann ergibt sich für den Apfel im Abstand \(r_{\rm{E}}\) vom Erdmittelpunkt\[{a_{\rm{A}}} = \frac{{4 \cdot {\pi ^2}}}{{{C_{\rm{E}}}}} \cdot \frac{1}{{r_{\rm{E}}^2}}\quad(5)\]und für den Mond im Abstand \(r_{\rm{EM}}\) von der Erde\[{a_{\rm{M}}} = \frac{{4 \cdot {\pi ^2}}}{{{C_{\rm{E}}}}} \cdot \frac{1}{{r_{\rm{EM}}^2}}\quad(6)\]Nun weiß man seit der Antike aus astronomischen Berechnungen, dass der Abstand \(r_{\rm{EM}}=60 \cdot r_{\rm{E}}\) beträgt. Setzt man dies in Gleichung \((6)\) ein und behält Gleichung \((5)\) im Auge, so erhält man\[{a_{\rm{M}}} = \frac{{4 \cdot {\pi ^2}}}{{{C_{\rm{E}}}}} \cdot \frac{1}{{r_{{\rm{EM}}}^2}} = \frac{{4 \cdot {\pi ^2}}}{{{C_{\rm{E}}}}} \cdot \frac{1}{{{{\left( {60 \cdot {r_{\rm{E}}}} \right)}^2}}} = \frac{1}{{3600}} \cdot \frac{{4 \cdot {\pi ^2}}}{{{C_{\rm{E}}}}} \cdot \frac{1}{{r_{\rm{E}}^2}} = \frac{1}{{3600}} \cdot {a_{\rm{A}}}\quad(7)\]Nun kennen wir aber die Beschleunigung des Apfels auf der Erdoberfläche; diese beträgt bekanntlich \(a_{\rm{A}}=g=9{, }81\, \rm{\frac{m}{s^2}}\).
Der Begriff der Differenzierbarkeit einer Funktion lässt sich folgendermaßen definieren: Definition: Es sei I ein offenes Intervall und x 0 ∈ Ι. Eine Funktion f: Ι → ℝ heißt im Punkt x 0 differenzierbar, wenn folgender Grenzwert existiert: lim x → x 0 f ( x) − f ( x 0) x − x 0 =: f ' ( x 0) Dieser Grenzwert f ' ( x 0) heißt Ableitung von f in x 0. Äquivalent zu dieser Definition ist die folgende: Definition: Es sei I ein offenes Intervall und x 0 ∈ Ι. Eine Funktion f: Ι → ℝ heißt im Punkt x 0 differenzierbar, wenn es eine Zahl f ' ( x 0) gibt, sodass gilt: lim x → x 0 f ( x) − f ( x 0) − f ' ( x 0) ( x − x 0) x − x 0 = 0 Die Zahl f ' ( x 0) heißt Ableitung von f in x 0. Im Folgenden geben wir eine geometrische Deutung der Differenzierbarkeit. Die Gleichung y = f ( x 0) + f ' ( x 0) ( x − x 0) bestimmt eine Gerade mit der Steigung f ' ( x 0) durch den Punkt ( x 0; f ( x 0)). 2 r hat ein f c. Sie heißt Tangente an den Graphen von f in x 0 oder in ( x 0; f ( x 0)). Differenzierbarkeit einer Funktion in x 0 bedeutet, dass der Graph dieser Funktion in x 0 eine nicht zur y-Achse parallele Tangente besitzt.