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18. 07. 2016, 12:14 CloudPad Auf diesen Beitrag antworten » Herleitung Variation ohne Wiederholung Meine Frage: Hallo! Ich lese mir jetzt schon seit Ewigkeiten auf verschiedensten Seiten und in mehreren Fachbüchern durch, wie die Formel für eine Variation ohne Wiederholung aufgestellt wird. Für mich wird da allerdings immer an einer Stelle ein Sprung gemacht, ab der ich die Herleitung nicht mehr nachvollziehen kann... ihr würdet mir einiges an Kopfzerbrechen ersparen, wenn ihr mir diesen Sprung erklären könntet! Meine Ideen: In dem Skript meines Dozenten fängt die Herleitung schön harmlos an: N = n*(n-1)*(n-2)*... *(n-k+1). Finde ich logisch, kann ich wuderbar nachvollziehen. Dann geht es weiter damit, dass oben genannte Formel Folgendem entspräche: = n*(n-1)*(n-2)*... *(n-k+1)* (n-k)*(n-k-1)*... *1 / (n-k)*(n-k-1)*... *1 was wiederum gekürzt werden könne zu n! /(n-k)! woher aber kommt denn plötzlich dieses (n-k)*(n-k-1)*... *1? Tausend Dank schon mal!! 18. 2016, 13:19 HAL 9000 Zitat: Original von CloudPad "Gekürzt" ist das falsche Wort.
· (n – k + 1) = n! : (n – k)! Variationen mit Wiederholung Haben wir nun eine Variation mit Wiederholung vorliegen, darf jedes Element mehrfach vorkommen. Daher gibt es beim ersten Ziehen n Möglichkeiten (aus n Elementen), da noch kein Element verwendet wurden. Nach dem ersten Ziehen, bleiben aber wieder n Elemente übrig, da für das zweite Ziehen alle Elemente verwendet werden können (Variation mit Wiederholung). Also haben wir beim zweiten Zug der Anordnung noch n Möglichkeiten, beim dritten Ziehen sind es wieder n Möglichkeiten und beim k-ten Zug sind es noch n Möglichkeiten. Daher erhalten wir für die Anzahl der Variationen mit Wiederholung folgende Formel: Möglichkeiten = n · n · n · n · …. · n = n k ("n hoch k") Zusammenfassung der Kombinatorik Die Kombinatorik befasst sich mit der Anzahl von Anordnung von einer bestimmten Anzahl an Elementen mit oder ohne Berücksichtigung der Reihenfolge. Sind die Elemente unterscheidbar (und kommen diese nur einzeln vor) so spricht man von "ohne Wiederholung".
Sind die Elemente hingegen nicht unterscheidbar, so spricht man von "mit Wiederholung", da jedes Element, dass bereits verwendet wurde, wieder verwendet werden kann. Kombination (mit Wiederholung) – Auswahl von k aus n Elementen – keine Reihenfolgenbeachtung Kombination (ohne Wiederholung) – Auswahl von k aus n Elementen – keine Reihenfolgenbeachtung Variation (mit Wiederholung) – Auswahl von k aus n Elementen – Reihenfolgenbeachtung: n k Autor:, Letzte Aktualisierung: 26. Januar 2021
Regel: Bei einer Kombination ohne Wiederholung werden \(k\) aus \(n\) Elementen unter Vernachlässigung der Reihenfolge ausgewählt, wobei jedes Element nur einmal ausgewählt werden darf. Anzahl der Möglichkeiten für \(k\)-Elemente aus einer Menge mit insgesammt \(n\) Elementen berechnet sich über: Beispiel In einer Urne befinden sich \(6\) verschiedene Kugeln. Drei Kugeln sollen nacheinander gezogen werden ohne dass sie wieder in die Urne gelegt werden. Die Reihnfolge der gezogenen Kugeln soll nicht von Bedeutung sein. Wie viele Möglichkeiten gibt es? \(\binom{6}{3}=\frac{6! }{(6-3)! \cdot 3! }\) \(=20\) Es gibt insgesamt \(20\) Möglichkeiten.
Beispiel Hier klicken zum Ausklappen Bei einem Autorennen nehmen $10$ Rennfahrer teil. Wie viele Kombinationsmöglichkeiten für die ersten drei Platzierungen sind möglich? $\Large {\frac{n! }{(n - k)! } = \frac{10! }{(10 - 3)! } = \frac{10! }{7! } = \frac{1\cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 \cdot 6 \cdot 7 \cdot 7 \cdot 8 \cdot 9 \cdot 10}{1\cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 \cdot 6 \cdot 7} = \frac{3. 628. 800}{5040} = 720}$ Es gibt insgesamt $720$ Möglichkeiten für die Top 3-Platzierungen. Teste dein neu erlerntes Wissen in unseren Übungsaufgaben!
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