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Vielfachheit von Nullstellen Wir betrachten in diesem Abschnitt die Mehrfachheit von Nullstellen, die wir zwar bereits früher kennengelernt haben, ohne etwas über diese Mehrfachheit zu wissen. Liegt die Funktionsgleichung einer ganzrationalen Funktion in Produktdarstellung ( → Linearfaktorzerlegung) vor, können wir anhand des Funktionsterms Aussagen über das Verhalten in der Umgebung der Nullstellen machen. Von besonderem Interesse sind dabei mehrfach auftretende Faktoren. Hierzu betrachten wir uns drei Beispiele. f(x)=1, 5x 2 -6x+3 g(x)=1, 5x 3 -10, 5x 2 +22, 5x-13, 5 h(x)=1, 5x 4 -15x 3 +54x 2 -81x+40, 5 f(x)=1, 5(x-1)(x-3) g(x)=1, 5(x-1) (x-3) 2 h(x)=1, 5(x-1) (x-3) 3 Vergleichen wir die oben dargestellten Graphen der jeweiligen Funktionen f, g und h, so stellen wir Folgendes fest: An der Stelle x=1 schneiden alle drei Graphen die x -Achse wie eine Gerade. An der Stelle x=3 schneidet der Graph von f die x -Achse wie eine Gerade, der Graph von g berührt die x -Achse (ähnlich dem Scheitelpunkt einer Parabel) und der Graph von h schneidet die x -Achse ähnlich der Nullstelle einer Funktion i mit i(x)=x 3 an der Stelle x=0.
Dadurch berührt der Graph die x -Achse an der Stelle x 2 =3 und die Funktionsgleichung lautet g(x)=1, 5(x-1)(x-3) 2. Die einfache Nullstelle bei x 3 =5 wird zur doppelten Nullstelle bei x 2 =3. In diesem Falle sprechen wir bei x 2 =3 von einer zweifachen (oder auch doppelten) Nullstelle. Die Nullstelle x 1 =1 hingegen wird einfache Nullstelle genannt. Dies führt uns zu folgendem Merksatz Vielfachheit von Nullstellen Liegt die Funktionsgleichung einer ganzrationalen Funktion f in der Produktdarstellung f(x)=(x-x 0) k ∙g(x) mit g(x)≠0 vor, so heiß x 0 eine Nullstelle der Vielfachheit k. Geschrieben von Meinolf Müller Meinolf Müller Zuletzt aktualisiert: 16. Juli 2021 16. Juli 2021
Station 3: Vielfachheit von Nullstellen am Graph erkennen Worum geht's? Du hast in 2. 2 bereits erfahren, dass eine Nullstelle einfach, doppelt, dreifach,... sein kann. Man nennt das die Vielfachheit der Nullstelle Wie du die Vielfachheit einer Nullstelle am Funkionsgraph erkennen kannst, lernst du hier! Informiere dich! Hefteintrag Erstelle selbständig einen Hefteintrag zu den Lerninhalten, die dir im Video vorgestellt wurden. Bei Bedarf kannst du dich natürlich auch noch zusätzlich im Internet informieren. Weiter
Bei Nullstellen mit gerader Vielfachheit handelt es sich um Berührpunkte mit der x x -Achse. Somit tritt an Nullstellen mit ungerader Vielfachheit ein Vorzeichenwechsel und an Nullstellen mit gerader Vielfachheit kein Vorzeichenwechsel auf. Man kann also durch das Vorzeichenverhalten in der Umgebung der Nullstellen überprüfen, ob es sich um eine Nullstelle mit gerader oder ungerader Vielfachheit handelt.
68 Aufrufe Aufgabe: a) Eine Funktion dritten Grades hat einen Streckfaktor a=2 und einen Sattelpunkt bei 1 = 1, 5. Geben Sie die Funktionsgleichung an. b) Eine mit dem Faktor = 3 in -Richtung gestreckte Normalparabel hat die Nullstellen 1 = 3 und 2 = 8. c) Eine Funktion vierten Grades hat die Nullstellen 1 = 0, 2 = −1, 3 = 4, 4 = 5 und wurde mit dem Faktor = 1 in -Richtung gestreckt. 3 Ich verstehe garnicht wie ich diese Aufgaben lösen soll.. Gefragt 22 Feb von einen Sattelpunkt bei 1 = 1, 5 Steht das wirklich so in der Aufgabe? 1 = 3 und 2 = 8. Hier auch? oder heißt es \(x_1=3 \qquad x_2=8\) Ebenso bei Aufgabe c. Und heißt dort der Streckfaktor tatsächlich 1? In welche Richtung wurde gestreckt? 2 Antworten a) Eine Funktion dritten Grades hat einen Streckfaktor a= 2 und einen Sattelpunkt bei S(1|1, 5. ) Geben Sie die Funktionsgleichung an. Ich verschiebe den Graph um 1, 5 Einheiten nach unten: S´( 1 |0) → Dreifachnullstelle f(x)= 2 *(x- 1)^3 Nun wieder 1, 5 Einheiten nach oben p(x)=2*(x-1)^3+ 1, 5 Beantwortet Moliets 21 k hallo b) Faktorform verwenden: f(x) = 3(x-3) *(x-8) = 3( x²-11x+24) = 3x² -33x+72 ~plot~ 3(x-3)*(x-8); ~plot~ Akelei 38 k