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Jedem Radius einer Umgebung des Erwartungswertes m lsst sich eine bestimmte Wahrscheinlichkeit fr diese Umgebung zuordnen. Umgekehrt gehren zu bestimmten Wahrscheinlichkeiten um den Erwartungswert bestimmte Radien. Die folgenden Faustregeln fr Binomialverteilungen gelten umso genauer, je grer der Stichprobenumfang n ist, insbesondere falls s > 3 ( LAPLACE-Bedingung). Es gelten folgende Zuordnungen: Radius der Umgebung Wahrschein- lichkeit der 1 s 68% 2 s 95, 5% 3 s 99, 7% 90% 1, 64 s 95% 1, 96 s 99% 2, 58 s Beispiel: Man hat ein 100-stufiges Bernoulli-Experiment mit der Erfolgswahrscheinlichkeit p =0, 4. Daraus folgt: Erwartungswert der Zufallsvariable X = Anzahl der Erfolge m = n p =40 und Standardabweichung s mit s 2 = n p (1 - p)=24, d. h. s 4, 90. Damit ergibt sich das 90%-Intervall als [ 40 - 1, 64 s; 40+1, 64 s] = [31, 96; 48, 03]. Man rundet stets " zur sicheren Seite ", d. zum Erwartungswert hin. Damit bekommt man das Intervall [32; 48]. Normalverteilung, Sigma-Umgebung. Mit 90% Wahrscheinlichkeit wird man also zwischen 32 und 48 Erfolge haben.
Es sei X ≙ ( − 2 0 3 0, 125 0, 750 0, 125). Wie man sich überzeugen kann, hat X die oben angegebenen Werte für den Erwartungswert und die Streuung. Jetzt ist es möglich, die gesuchte Wahrscheinlichkeit direkt zu berechnen: P ( | X − E X | ≥ 2 D X) = P ( | X − 0, 125 | ≥ 2 1, 609375) = 1 − P ( | X − 0, 125 | < 2 1, 609375) = 1 − P ( − 2 1, 609375 + 0, 125 < X < 2 1, 609375 + 0, 125) = 1 − P ( X = − 2) − P ( X = 0) = 1 − 0, 125 − 0, 750 = 0, 125 Die Zufallsgröße X weicht also mit einer Wahrscheinlichkeit von 0, 125 um mehr als 2DX von EX ab. Sigma umgebung tabelle 2. Das Beispiel zeigt, dass die auf der 3 σ - Re g e l beruhenden Abschätzungen relativ grob sind. Dies schränkt die Möglichkeiten einer praktischen Nutzung der Regel ein. Trotzdem ist sie nicht ohne praktische Relevanz. Wir betrachten im Folgenden ein Anwendungsbeispiel. Beispiel: Lars Spielmann besitzt noch einen alten, abgenutzten und lädierten Würfel, dessen Beschriftung mit den Zahlen 1 bis 6 teilweise nur noch schwer zu erkennen ist. Trotzdem hängt er an diesem Würfel.
1. Vieweg, Wiesbaden 2003, ISBN 3-528-03183-2, doi: 10. 1007/978-3-663-01244-3. Weblinks [ Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
Arbeiten mit der Tabelle [ Bearbeiten | Quelltext bearbeiten] Aus der Tabelle kann die Wahrscheinlichkeit für die Standardnormalverteilung ermittelt werden. Aufgrund des Zusammenhanges (und damit auch wegen der Symmetrie der gaußschen Glockenkurve) sind hier nur die positiven Werte von zu finden. Ist nun die Wahrscheinlichkeit für Werte von im Intervall von 0 bis 4, 09 gesucht, so steht bis zum Zehntel in der linken Randzeile der Tabelle und das Hundertstel findet sich in der Kopfzeile. Dort, wo sich die zugehörige Zeile und Spalte kreuzen, steht die Wahrscheinlichkeit. Übersteigt die Grenze von 4, 09, dann gilt, für Vorsicht ist bei der Umkehrung geboten, bei der eine Wahrscheinlichkeit vorgegeben und das dazugehörige gesucht ist. Sigma umgebung tabelle 1. Hier kann derjenige Wert angesehen werden, der den geringeren Abstand zur vorgegebenen Wahrscheinlichkeit hat. Anschließend setzt man aus der Zeile und Spalte dieses Wertes zusammen. Ist also z. B. die Wahrscheinlichkeit 0, 90670 gegeben, so wird in der Tabelle der Wert 0, 90658 (entspricht einem von 1, 32) gewählt, weil dieser viel näher liegt, als der nächste mögliche Wert von 0, 90824 (wobei dieser ein von 1, 33 ergäbe).
Von der Gesamtfläche unter der Kurve, die ja 1 ist (= Wahrscheinlichkeit für ein sicheres Ereignis) wird also abgezogen, das heißt Umgelegt auf das Beispiel ergibt sich das heißt die gesuchte Wahrscheinlichkeit beträgt fast 70 Prozent. Quantile [ Bearbeiten | Quelltext bearbeiten] In statistischen Anwendungen, z. B. im Rahmen von Hypothesentests zum Auffinden kritischer Werte, stellt sich oft auch die Frage: Welchen Wert hat das -Quantil, wann also gilt? Sucht man z. B. das 97, 5-%-Quantil, d. h., dann ergibt sich laut nebenstehender Tabelle (gerundet auf sechs bzw. auf zwei Nachkommastellen). 0, 750 0, 800 0, 900 0, 950 0, 975 0, 990 0, 995 0, 674490 0, 841621 1, 281550 1, 644850 1, 959960 2, 326350 2, 575830 Literatur [ Bearbeiten | Quelltext bearbeiten] Hans-Otto Georgii: Stochastik. Einführung in die Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik. 4. Auflage. Sigma Tabelle selber errechnen | Mathelounge. Walter de Gruyter, Berlin 2009, ISBN 978-3-11-021526-7, doi: 10. 1515/9783110215274. Christian Hesse: Angewandte Wahrscheinlichkeitstheorie.
Mit 10% Wahrscheinlichkeit bekommt man Erfolgsanzahlen auerhalb dieses Intervalls. Wie genau ist die Faustregel?
Violetter Sauerklee Violetter Sauerklee ( Oxalis violacea) Systematik Rosiden Eurosiden I Ordnung: Sauerkleeartige (Oxalidales) Familie: Sauerkleegewächse (Oxalidaceae) Gattung: Sauerklee ( Oxalis) Art: Wissenschaftlicher Name Oxalis violacea L. Violetter Sauerklee ( Oxalis violacea) ist eine Pflanzenart aus der Gattung Sauerklee ( Oxalis). Sie ist in den Vereinigten Staaten beheimatet und wird als Zierpflanze verwendet sowie vom Menschen gegessen. Die Pflanzenteile enthalten Oxalsäure [1]. Beschreibung [ Bearbeiten | Quelltext bearbeiten] Pflanze mit grünen Laubblättern. Erscheinungsbild und Blatt [ Bearbeiten | Quelltext bearbeiten] Oxalis violacea wächst als ausdauernde krautige Pflanze. Violette blume 5 blütenblätter -. Dieser Geophyt [2] bildet unterirdische, mit Schuppen besetzte Knollen als Überdauerungsorgane, mit denen klonale Bestände ausgebildet werden können. [3] [4] Es werden Faserwurzeln an den Knollen gebildet. [3] Die grundständigen Laubblätter sind in Blattstiel und Blattspreite gegliedert. Der etwa 10 cm langen Blattstiel ist purpurfarben und kahl bis flaumig behaart.
Die dreiteilige Blattspreite öffnet sich bei Tag. [3] Die sitzenden, einfachen Blättchen sind bei einer Länge von etwa 2 cm und einer Breite von etwa 2, 5 cm verkehrt-herzförmig. Die kahlen bis spärlich flaumig behaarten Blättchen können auf der Oberseite tief-grün bis purpurfarben-grün sein und sind auf der Unterseite purpurfarben. [4] Je kälter es ist und umso höher die Sonneneinstrahlung ist, umso purpurfarbener sind die Laubblätter. [3] Blütenstand und Blüte [ Bearbeiten | Quelltext bearbeiten] Direkt aus der Knolle wird ein etwa 15 cm langer, aufrechter, weißlich-grüner, manchmal mit rosafarbenen Tönen, kahler bis flaumig behaarter Blütenstandsschaft gebildet, der länger ist als die Laubblätter. Violette blume 5 blütenblätter feet. Der endständige, doldige Blütenstand enthält einige (zwei bis fünf [3]) Blüten. Meist ein bis zwei Blüten eines Blütenstandes sind zur gleichen Zeit geöffnet. [3] Die bis zu 1 cm langen, dünnen Blütenstiele sind kahl bis spärlich flaumig behaart. [4] Die Blütezeit reicht beispielsweise in Illinois von Mitte des Frühlings bis zum frühen Sommer und dauert etwa ein bis zwei Monate, manchmal blüht Oxalis violacea nochmals im Herbst [3].
Sie ist eine imponierende Staude, die mit ihrem Duft und den herrlich tief-violetten Blüten die Nase und das Auge betört. Zu tausenden schmiegen sich die kleinen Blüten an die Stängel der Pflanze. Nach dem Verblühen, empfiehlt sich ein Rückschnitt, um die Blütezeit zu verlängern. Ein Staudenbeet, bepflanzt mit Blüten-Salbei, Rosen, Rittersporn und Lavendel, ist durch nichts zu verschönern. Strelitzienblüte » Merkmale, Blütezeit und mehr. Dieser Zusammenstellung ist nichts hinzuzufügen. Die Salvia nemorosa 'Viola Klose' lässt sich unglaublich vielfältig anordnen. Immer steht diese Staude im Mittelpunkt. Ein sonniger Standort ist von Vorteil. Hier beginnt die Pflanze schon im Mai mit ihrem unnachahmlichen Blütenreigen. Bienen und Hummeln warten sehnsüchtig auf das blühende Erwachen der Staude, um sich ihre Nahrung über den Sommer hinweg zu sichern.