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Wer kann länger ohne Wasser leben, die Giraffe oder das Kamel? Gefällt Dir diese Frage? 0 Frage-Nr. : 373025 • Antworten: 1 • Beobachter: 0 Gestellt von: Anonym • am 22. 05. 2015 Beantworten Beobachten
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Für einen einfachen Fall von drei Punkten in einem 2D Raum und mit der Matrix Kann man diese Technik anwenden, um das maximum der 3 Minor auf Nullen zu überprüfen (man kann damit aufhören, sobald man nicht-Null Minor findet) Oder man kann die äquivalente Definition von Kollinearität von der englischen Wikipedia Seite verwenden: Wenn die Matrix für jede Teilemenge der drei Punkte X = (x1, x2,..., xn), Y = (y1, y2,..., yn), and Z = (z1, z2,..., zn) Rang 2 oder niedriger ist, sind die Punkte kollinear. Im Fall einer Matrix von drei Punkten in einem 2D Raum sind sie nur kollinear, und nur dann, wenn die Determinante der Matrix Null ist.
Beispiel 2 ⇒gleichzeitig erfüllbar Die beiden Vektoren sind kollinear (linear abhängig)! Beachte ♦Drei linear abhängige Vektoren können untereinander parallel sein (paarweise linear abhängig) (mit 2 oder 3 Vektoren). Oder sie liegen wegen des geschlossenen Vektordreiecks in einer gemeinsamen Ebene: Komplanarität. Lineare Abhängigkeit und lineare Unabhängigkeit online lernen. ♦Genau dann, wenn die Vektoren linear abhängig sind, lässt sich einer von ihnen (mit Koeffizienten ≠ 0) durch eine Linearkombination der restlichen Vektoren ausdrücken.
Aufgabe: Ich soll prüfen ob zwei Vektoren kollinear sind.... Die Vektoren sind: v= \( \begin{pmatrix} 1\\a\\0 \end{pmatrix} \) und v=\( \begin{pmatrix} 1\\0\\a \end{pmatrix} \) Wie muss a gewählt werden, sodass die beiden Vektoren kollinear sind? Nun habe ich allerdings mehrere Ansätze mit denen ich auf unterschiedliche Ergebnisse komme.... Ansatz 1: Wenn ich a = 0 wähle, sind die beiden Vektoren ja identisch und somit ebenfalls kollinear Ansatz 2: Ich würde gerne über den Ansatz gehen, dass ich sage: Der eine Vektor ist ein Vielfaches des anderen Vektors..... also: \( \begin{pmatrix} 1\\a\\0 \end{pmatrix} \) *r = \( \begin{pmatrix} 1\\0\\a \end{pmatrix} \)... Dort komme ich für r aber auf das Ergebnis 1. r = 1 2. a*r= 0 3. Vektoren Kollinearität Ansätze | Mathelounge. 0*r = a Daraus abgeleitet kann ich ja nicht sagen ob sie kollinear sind oder nicht, da mein r nicht einheitlich ist..... Ansatz 3: Ich schaue ob das Kreuzprodukt der beiden Vektoren den Nullvektor ergibt und wenn dies der Fall ist, sind sie kollinear v(kreuzprodukt)=\( \begin{pmatrix} (a*a)\\-a\\-a \end{pmatrix} \)= \( \begin{pmatrix} 0\\0\\0 \end{pmatrix} \) daraus ergibt sich ja ebenfalls dass a=0 sein muss..... Problem/Ansatz: Warum ist der mittlere Weg also Ansatz 2 nicht möglich bzw. gibt mir ein komplett anderes Ergebnis?
Somit sind diese drei Vektoren linear abhängig. Wenn drei Vektoren linear abhängig sind, dann werden sie als komplanar bezeichnet. Übrigens: Der Nullvektor lässt sich als Linearkombination von beliebigen Vektoren darstellen. Damit ist eine Menge von Vektoren, von denen einer der Nullvektor ist, immer linear abhängig. Basisvektoren im $\mathbb{R}^2$ In dem Vektorraum $\mathbb{R}^2$ sind immer mehr als zwei Vektoren linear abhängig. Die maximale Anzahl linear unabhängiger Vektoren ist also zwei. Dies ist die Dimension des Vektorraumes. Jeweils zwei linear unabhängige Vektoren werden als Basisvektoren bezeichnet. Kollinear vektoren überprüfen sie. Eine besondere Basis ist die sogenannte kanonische Basis $\{\vec{e_1};~\vec{e_2}\}$, welche aus den Einheitsvektoren $\vec e_1=\begin{pmatrix} \end{pmatrix}$$~$sowie$~$$\vec e_2=\begin{pmatrix} besteht. Jeder Vektor eines Vektorraumes lässt sich als Linearkombination von Basisvektoren dieses Vektorraumes darstellen. Bedeutung der Kollinearität In der analytischen Geometrie werden zum Beispiel Geraden behandelt.
Komplanarität von Punkten Punkte bezeichnet man als komplanar, wenn sie in einer gemeinsamen Ebene liegen. Drei (verschiedene) Punkte des Raumes liegen stets in einer gemeinsamen Ebene. Durch sie wird auch eine Ebene eindeutig bestimmt, sofern die Punkte nicht kollinear sind. Durch drei kollineare Punkte wird keine Ebene, sondern nur eine Gerade beschrieben.