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Der Moivresche Satz, auch Satz von de Moivre oder Formel von de Moivre genannt, besagt, dass für jede komplexe Zahl (und damit auch jede reelle Zahl) und jede natürliche Zahl der Zusammenhang gilt. Er trägt seinen Namen zu Ehren von Abraham de Moivre, der diesen Satz im ersten Jahrzehnt des 18. Jahrhunderts fand. Formel von moivre le. De Moivre selbst hatte die Formel nach eigener Aussage von seinem Lehrer Isaac Newton und verwendete sie in verschiedenen seiner Schriften, auch wenn er sie nie explizit niederschrieb (das tat erst Leonhard Euler 1748, Introductio in analysin infinitorum, wo er auch die Eulersche Formel aufstellte). Die Formel verbindet die komplexen Zahlen mit der Trigonometrie, sodass die komplexen Zahlen trigonometrisch dargestellt werden können. Der Ausdruck kann auch verkürzt als dargestellt werden. Herleitung Der Moivresche Satz kann mit der Eulerformel der komplexen Exponentialfunktion und ihrer Funktionalgleichung abgeleitet werden. Ein alternativer Beweis ergibt sich aus der Produktdarstellung (siehe Additionstheoreme) per vollständiger Induktion.
Komplexe Zahlen potenzieren | Satz von Moivre am Bsp. (√2/2-√2/2*i)²⁰²⁰, schönste Gleichung der Welt - YouTube
Moivre hat diese Glockenkurve für p=0, 5 untersucht, Laplace zeigte, dass sich auch im Fall für große Werte von n dieselbe Grenzkurve ergibt. Beispiel: Binomialverteilung mit n=60, p=0, 5, Der Flächeninhalt zwischen der Gauß-Kurve und der x-Achse entspricht somit dem der Summe der Inhalte aller Rechtecksflächen des Histogramms einer binomialverteilten Zufallsvariablen X ebenso wie die der dazugehörigen standardisierten Zufallsvariablen Z und hat der Wert 1: Die Summenwahrscheinlichkeit kann dann näherungsweise durch den Inhalt der Teilfläche, die von der Gauss-Kurve und der x-Achse (bzw. z-Achse) im Intervall eingeschlossen wird, berechnet werden:
Die Grenzen (Lower, Upper) können ohne z – Transformation eingegeben werden. Die Stetigkeitskorrektur muss und darf nur bei abzählbaren Ergebnismengen angewendet werden. Die Korrektur ist immer die halbe Breite der Histogrammsäulen: Binomialverteilung: Korrektur um ± 0, 5 Gerundete Messung z. B. auf 0, 1 cm: Korrektur um ± 0, 05 cm Einsatz der Tabelle mit z – Transformation mit und ohne Stetigkeitskorrektur Anders als der GTR nutzt die Tabelle die Standard Normalverteilung \varphi (z) zur Berechnung der kumulierten Wahrscheinlichkeit. Die Grenzen a; b müssen mit der z – Transformation in die Variablen z(a)=\frac{a-\mu}{\sigma} bzw. z(b)=\frac{b-\mu}{\sigma} umgerechnet werden. Formel von moivre rose. auf 0, 1 cm: Korrektur um ± 0, 05 cm Aufgaben Notiere die Definition der Näherungsformel im Heft. Dokumentiere auch den Sinn der Stetigkeitskorrektur. Bearbeite die Aufgaben 8 im Buch auf Seite 407 auf drei verschiedene Weisen: Mit der z – Transformation und der Tabelle, wie im Beispiel unten erklärt, mit der kumulierten Normalverteilungsfunktion des GTR, indem du σ und µ entsprechend einstellst, zur Kontrolle mit der kumulierten Binomialverteilung.
Für n ⋅ p ⋅ ( 1 − p) > 9 (Faustregel) sind die folgenden Näherungsformeln sinnvoll: B n; p ( { k}) ≈ 1 σ ϕ ( k − μ σ) ( l o k a l e N ä h e r u n g) B n; p ( { 0; 1;... ; k}) ≈ Φ ( k + 0, 5 − μ σ) ( g l o b a l e N ä h e r u n g) Anmerkung: Der in der globalen Approximation enthaltene Summand 0, 5 hat keinen mathematisch begründbaren Hintergrund. Sein Einfügen beruht auf Erfahrung. Die Formel wird auch ohne den Korrektursummanden 0, 5 genutzt. Moivre-Laplace, Laplace Bedingung, laplace gleichung, laplace, | Mathe-Seite.de. Ein Anwendungsproblem und seine Lösung Beispiel: Am diesjährigen Schulsportfest der 11. und 12. Klassen des "Lauf-dich-gesund-Gymnasiums" nehmen 114 Schüler teil. Die Mitarbeiterinnen der Schulkantine bieten zur besonderen Stärkung Steak vom Laufschwein an. Aus Erfahrungen vergangener Jahre wissen sie, dass im Mittel zwei Drittel der Sportfestteilnehmer von diesem Angebot Gebrauch machen. Sie bereiten deshalb 80 Portionen zu, wobei der Verkaufspreis so kalkuliert wurde, dass bei einem Verkauf von weniger als 60 Steaks ein finanzieller Verlust entsteht.
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