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Nun hast du eine detaillierte Übersicht darüber bekommen, wie du mit Potenzen mit gleichen Exponenten rechnen kannst. Zur Vertiefung dieses Wissens, teste dich in unseren Übungen. Dabei wünschen wir dir viel Spaß und Erfolg!
Und noch eine zeitsparende Regel Wenn du Potenzen mit verschiedenen Basen, aber gleichem Exponenten, malnehmen willst, kannst du sie erst einmal als Produkte schreiben, die Faktoren neu sortieren und dann das Ganze wieder als Potenz schreiben. $$2^2*3^2 = 2 * 2* 3*3=2*3*2*3=(2*3)*(2*3)$$ $$=6*6=6^2 $$ └────────────────┘ └────────┘ Reihenfolge vertauschen klammern Es geht aber auch schneller: Du kannst die Gleichheit bestätigen: $$2^2*3^2=4*9=36$$ und $$6^2=6*6=36$$ Das geht natürlich auch für Variable: $$x^3*y^3 = x*x*x* y*y*y=x*y*x*y*x*y$$ └─────────────────────────┘ Reihenfolge vertauschen $$=(x*y)*(x*y)*(x*y)$$ $$=(x*y)^3$$ └──────────────┘ klammern Oder einfach: $$x^3*y^3=(x*y)^3$$ 2. Potenzgesetz - Teil 1 Willst du Potenzen mit gleichem Exponenten multiplizieren, multipliziere die Basen und behalte den Exponenten unverändert bei. $$a^n*b^n=(a*b)^n$$ Und mit Brüchen Auch beim 2. Potenzgesetz erhältst du eine Regel für die Division von Potenzen mit gleichem Exponenten. $$2^2:3^2 =2^2/3^2=(2*2)/(3*3)=2/3*2/3=(2/3)^2 $$ Oder einfach: $$2^2:3^2 =2^2/3^2=(2/3)^2 $$ Du kannst die Gleichheit bestätigen: $$2^2:3^2 =2^2/3^2=4/9 $$ und $$(2/3)^2 =2/3*2/3=4/9$$ Für Variable geht's genauso: $$x^3:y^3 = x^3/y^3=(x*x*x)/(y*y*y)=x/y*x/y*x/y=(x/y)^3$$ Oder einfach: $$x^3:y^3=x^3/y^3=(x/y)^3$$ 2.
In diesem Beitrag gebe ich eine Übersicht über die Rechengesetze mit Wurzeln und Potenzen. Am Schluss stelle ich ein paar Tips und Tricks bei mBerechnungen mit Wurzeln vor. Potenz Definition Potenzgesetze Erweiterte Potenzdefinition Multiplikation und Division von Potenzen mit ungleicher Basis aber gleichem Exponenten Potenzieren und Radizieren von Potenzen Zusammenfassung der Potenzgesetze Tips und Tricks beim Berechnungen mit Wurzeln Potenz Definition: Eine Potenz ist eine Multiplikation gleicher Faktoren (Basis), bei der der Exponent die Anzahl der Faktoren angibt, zum Beispiel: Potenzgesetze Addition und Subtraktion von Potenzen: Potenzen mit gleicher Basis und gleichem Exponenten können addiert oder subtrahiert werden. Beispiele: a) b) Multiplikation von Potenzen mit gleicher Basis Potenzen mit gleicher Basis werden multipliziert, indem man ihre Exponenten addiert und die Basis beibehält. Beispiele: a) b) c) Merke Division von Potenzen mit gleicher Basis Potenzen mit gleicher Basis werden dividiert, indem man den Nennerexponenten vom Zählerexponenten subtrahiert und die Basis beibehält.
Wichtige Inhalte in diesem Video In diesem Beitrag erfährst du, wie die Potenzgesetze lauten und wie du mit ihnen rechnen kannst. In unserem Video gehen wir nochmal viele Beispiele durch. Schau es dir also gleich an! Potenzgesetze einfach erklärt im Video zur Stelle im Video springen (00:11) Die Potenzgesetze helfen dir beim Rechnen mit Potenzen. Eine Potenz ist eine kürzere Schreibweise, die du immer nutzt, wenn du eine Zahl öfters mit sich selbst multiplizieren möchtest. Die 2 nennst du Basis und die 5 ist der Exponent. Aber wie kannst du jetzt mit Potenzen rechnen? Hier siehst du die Exponentialgesetze auf einen Blick: Beispiel Regel Erklärung 2 5 • 2 3 = 2 5 + 3 = 2 8 x a • x b = x a + b Wenn du zwei Potenzen mit der gleichen Basis multiplizierst, kannst du die Exponenten addieren und die Basis gleich lassen. 2 5: 2 3 = 2 5 – 3 = 2 2 x a: x b = x a – b Wenn du zwei Potenzen mit der gleichen Basis dividierst, subtrahierst du die Exponenten und lässt die Basis gleich. 2 3 • 4 3 = ( 2 • 4) 3 = 8 3 a n • b n = ( a • b) n Wenn du zwei Potenzen mit dem gleichen Exponenten multiplizierst, multiplizierst du nur die Basis und lässt den Exponenten gleich.
Beispiele für negative Potenzen: Potenzrechnen — Potenzgesetze Wurzel Wenn der vorliegende Exponent ein Bruch ist, dann brauchst du das Potenzgesetz für die Wurzel. Die Zahl im Nenner gibt dir dabei an, die wievielte Wurzel du ziehen musst. Die Zahl im Zähler nimmst du als Exponent mit. Beispiele für Potenzgesetze zur Wurzel: Potenzrechnen — Exponenten 0 und 1 Unabhängig von den vorgestellten Exponenten Gesetze gibt es noch zwei besondere Exponenten. Hast du eine Zahl hoch null vorliegen, dann ist das Ergebnis per Definition immer Eins. x 0 = 1 5 0 = 1 (-27) 0 = 1 Außerdem ist beim Rechnen mit Potenzen eine Zahl hoch Eins immer die Zahl selbst. a 1 = a 7 1 = 7 20 1 = 20 Potenzgesetze Aufgaben Super! Du weißt nun, welche Potenzgesetze es gibt. Im nächsten Video lernst du viele verschiedene Potenzgesetze Aufgaben kennen und übst die Potenzrechnung. Bis gleich! Zum Video: Potenzgesetze Aufgaben Beliebte Inhalte aus dem Bereich Mathematische Grundlagen
Außerdem kannst du dir merken, dass das Minuszeichen bei geraden Exponenten wie 2, 4 oder 10 verschwindet und bei ungeraden Exponenten wie 3 oder 5 erhalten bleibt. (-3) 2 = (-3) • (-3) = 9 (-3) 3 = (-3) • (-3) • (-3) = -27 Prima! Jetzt kannst du auch mit negativen Potenzen rechnen! Potenzen addieren? Potenzgesetze Addition und Subtraktion Es gibt kein Potenzgesetz zur Addition. Hast du zum Beispiel 2 3 und 2 5 und willst diese Potenzen addieren, dann musst du die Potenzen zuerst einzeln ausrechnen. Fürs Potenzen addieren und auch fürs Potenzen subtrahieren gibt es keine Regel. Besondere Exponenten Potenzrechnung Abschließend stellen wir dir noch einige Exponenten Gesetze vor, die das Rechnen mit Potenzen bei besonderen Exponenten betreffen: das Rechnen mit negativen Potenzen, Potenzgesetze der Wurzel und Exponenten 0 und 1. Potenzrechnen — Negativer Exponent Hast du eine negative Zahl als Exponent, dann wandert die Basis in den Bruch eines Nenners. Die hochgestellte Zahl nimmst du dabei mit.