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In diesem Beitrag stelle ich verschiedene Lösungsverfahren für Lineare Gleichungssysteme mit 2 Gleichungen und 2 Variablen vor. Lösungsschritte für das Additionsverfahren in 2 Varianten. Gleichsetzverfahren in 2 Varianten. Einsetzverfahren in 2 Varianten Zeichnerische Verfahren. Beispiele für geeignete Lösungsverfahren Gleichungssysteme ohne eindeutige Lösung und mit unendlichen Lösungen. Lösungsschritte für das Additionsverfahren Variante 1 Gleichungssystem 1. Zuerst formt man die Gleichungen äquivalent so um, dass die Koeffizienten (Vorzahlen) der Variablen y bis auf das Vorzeichen übereinstimmen. 2. Aufgabenfuchs: Lineare Gleichungssysteme. Danach addiert man die entstandenen Gleichungen und löst sie nach der Variablen x auf. 3. Den gefundenen Wert für x setzt man dann in eine der beiden Gleichungen ein und löst nach der Variablen y auf. 4. Anschließend schreibt man die Lösungsmenge auf. 5. Schließlich führt man die Probe durch Einsetzen durch. Lösungsschritte für das Additionsverfahren Variante 2: Gleichungssystem 1. Zuerst formt man die Gleichungen äquivalent so um, dass die Koeffizienten (Vorzahlen) der Variablen x bis auf das Vorzeichen übereinstimmen.
$$ Einsetzen in die erste Gleichung: $$ y = \frac{5}{3} \cdot 6 - 12 = \frac{30}{3} - 12 = 10 - 12 = -2 \. $$
Dabei ist es wichtig, dass du beide Gleichungen so umformst, dass auf einer Seite das gleiche steht. Dabei ist es egal ob du nach "x", "y" oder "5y" usw. umformst. Somit gibt es mehrere richtige Möglichkeiten. Damit du nicht mit Brüchen arbeiten musst, würde ich die erste und die zweite Gleichung nach x umformen: $$x = 5y - 5 \quad und \quad x = 7 - y \. $$ Jetzt setzt du die beiden Gleichungen gleich und erhältst $$ 5y - 5 = 7 -y \quad \Rightarrow y = 2 \. Textgleichung 2 Variablen Köpfe und Beine. $$ Dieses Ergebnis kannst du nun in irgendeine Gleichung in der ursprünglichen Form für y einsetzten und schließlich x berechnen. Einsetzen von y in die erste Gleichung liefert: $$x + 5 = 10 \quad \Rightarrow x = 5 \. $$ Kann man natürlich, aber gerade bei Drittel wirst du ungenaue Werte erhalten. Rate also deshalb davon ab. Hier sind beide Gleichungen doch schon nach y umgestellt. Einfach gleichsetzen: $$ \frac{5}{3}x - 12 = \frac{1}{3}x - 4 \quad | \cdot 3 $$ $$ \Leftrightarrow \quad 5x - 36 = x -12 $$ $$ 4x = 24 \quad \Rightarrow \quad x = 6 \.
Aufgabe 12: Löse das Gleichungssystem. Aufgabe 13: Vereinfache die Gleichungen und trage die Lösungen ein. (I) 5× - 2y + 34 = 8x + y + 10 (II) 6x - 3y = 10x - 27 (I) 6× + 5y - 10 = 2x + 7y (II) 2x + 6y + 7 = 6x + 7y - 6 Aufgabe 14: Vereinfache die Gleichung und trage die Lösung ein. (I) 15x + 5y - 30 = 3x + 4y + 4 (II) 7x - 4y + 12 = 5y - 18 Aufgabe 15: Löse das Gleichungssystem. Aufgabe 16: Trage die Koordinaten des Geradenschnittpunkts ein. Aufgabe 17: Trage die Koordinaten des Geradenschnittpunkts ein. Textaufgaben gleichungssysteme mit 2 variablen berechnen. Aufgabe 18: Trage die Koordinaten des Geradenschnittpunkts jeweils als Bruch mit Schrägstrich - z. B. S( 8/9 | -2/9) - ein. An den roten Markierungen kreuzen die Geraden exakt einen Gittereckpunkt. S( |) richtig: 0 • • • • • falsch: 0 Aufgabe 19: Wenn einer von Leons Buntstiften (x) an Anna abgegeben wird, dann haben beide gleich viele Stifte vor sich auf dem Tisch liegen. Wird von Annas Buntstiften (y) einer zu Leon weitergereicht, dann hat er doppelt so viele Stifte vor sich liegen wie sie.
Löse mit Hilfe des Einsetzungsverfahrens: I: 2x + 3y = 5 II: 3y − x = 0, 5 Gleichungssysteme lassen sich z. mit Hilfe des Einsetzungsverfahrens, Gleichsetzungsverfahrens oder des Additionsverfahrens lösen. Alle Verfahren laufen darauf hinaus, Gleichungen mit jeweils nur einer Unbekannten zu erhalten, nach der man dann auflösen kann.
Aufgabe 25: Bei einem Dreieck ist der Winkel α 8° größer als der Winkel γ und 35° kleiner als der Winkel β. Trage die Größen der jeweiligen Winkel ein. Antwort: Die Winkel haben folgende Größen: α = °; β = °; γ = ° Aufgabe 26: In einer Kleintierausstellung werden Wellensittiche und Kaninchen zur Schau gestellt. Alle Tiere zusammen haben Köpfe und Beine. Wie viele Kaninchen und wie viele Wellensittiche werden dort ausgestellt? In der Ausstellung sind Kaninchen und Wellensittiche zu sehen. Aufgabe 27: In einer Jugendherberge gibt es Zimmer. In ihnen können 4 bzw. 6 Personen untergebracht werden. Insgesamt ist Platz für Personen. Wie viele Vierbett- und Sechsbettzimmer gibt es dort? Textaufgaben gleichungssysteme mit 2 variablen plotten. Die Herberge hat Vierbett- und Sechsbettzimmer. Aufgabe 28: Ben und Lisa haben Zimmer mit gleich großer Grundfläche. Bens Zimmer ist 50 cm länger als Lisas Zimmer. Dafür ist Lisas Zimmer 40 cm breiter als Bens Zimmer. Bens Zimmer ist 1, 3 m länger als breit. Trage Länge und Breite von jedem Zimmer sowie ihren Flächeninhalt ein.
An diesem Punkt ist die Variable x beider Funktionen identisch. Das Gleiche gilt für die Variable y. Lösung durch Wertetabelle Einfache lineare Gleichungssysteme lassen sich durch das Anlegen von Wertetabellen lösen. Jonas wechselt einen 10-Euro-Schein in x Ein-Euro-Münzen und y Zwei-Euro-Münzen. Textaufgaben gleichungssysteme mit 2 variablen zeichnen. Insgesamt erhält er so 8 Geldstücke. Wie hat er gewechselt? Die Angaben lassen sich in zwei Gleichungen darstellen. 1 € · x + 2 € · y = 10 € 1 · x + 2 · y = 10 (I) x + 2y = 10 x Münzen + y Münzen = 8 Münzen (II) x + y = 8 Zur Lösung des Gleichungssystems kann man Zahlenpaare bilden, die das Ergebnis der jeweiligen Gleichung erzielen: → (x|y); (0|5); (2|4); (4|3); (6|2); (8|1); (10|0) → (x|y); (0|8); (1|7); (2|6); (3|5); (4|4); (5|3); (6|2); (7|1); (8|0) Das Zahlenpaar (6|2) kommt als einziges in beiden Gleichungen vor, daher ist es die Lösung: Jonas hat 6 Ein-Euro-Münzen und 2 Zwei-Euro-Münzen erhalten (10 € in 8 Münzen). Aufgabe 2: Trage die Lösung des Gleichungssystems ein, das aus den folgenden Gleichungen besteht.