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Allgemeine Hilfe zu diesem Level Um den Grad anzugeben, schaut man auf die höchste x-Potenz (sofern der Term als Summe von x-Potenzen mit jeweiligem Koeffizient vorliegt). Liegt der Term faktorisiert vor, muss man pro Faktor die größte x-Potenz heranziehen. Es ist (für die Bestimmung des Grads) nicht erforderlich, alle Klammern auszumultiplizieren. Tastatur Tastatur für Sonderzeichen Kein Textfeld ausgewählt! Bitte in das Textfeld klicken, in das die Zeichen eingegeben werden sollen. Lernvideo Ganzrationale Funktionen Teil 1 Ganzrationale Funktionen (Teil 2) Faktorisierung von Polynomen (Teil 1) Faktorisierung von Polynomen (Teil 2) Der Term f(x) einer ganzrationalen Funktion (synonym: Polynomfunktion) besteht aus einer Summe von x-Potenzen, denen reelle Faktoren vorangestellt sind, wie z. B. ½ x³ + 3x² − 5 Die höchste x-Potenz bestimmt den Grad, im Beispiel oben beträgt dieser 3. Die vor den x-Potenzen stehenden reellen Faktoren (½; 3; -5) nennt man Koeffizienten. Taucht eine x-Potenz gar nicht auf, so ist der entsprechende Koeffizient 0.
Einleitung Eine ganzrationale Funktion ist eine Summe von Potenzfunktionen mit natürlichen Exponenten. $$ f(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \dotsb + a_2 x^2 + a_1 x + a_0 = \sum_{i=0}^n a_i x^i \qquad n \in \mathbb{N} $$ \( a_0, \dots, a_n \) = Koeffizienten \( a_n \) = Leitkoeffizient, \( a_0 \) = Absolutglied Grad \( n \) Der Grad einer ganzrationalen Funktion ist gleich dem höchsten Exponenten.
x oder eine höhere Potenz von x (z. x³) ausklammert. Das ist aber nur sinnvoll, wenn das Polynom keine additive Konstante aufweist, wie z. bei x³ - 4x² + 3x. eine binomische Formel anwendet. Ein quadratischer Faktor kann mit Hilfe der Mitternachtsformel evtl. weiter zerlegt werden. Eine ganzrationale Funktion vom Grad n hat höchstens n Nullstellen und zerfällt damit in höchstens n lineare Faktoren. Bei einer ganzrationalen Funktion entscheiden die Summanden mit den niedrigsten x-Potenzen, wie sich die Funktion in der Nähe der y-Achse verhält. Wie verhalten sich die Funktionen in der Umgebung der y-Achse?
Für \( n \leq 3 \) wird die Bestimmung der Nullstellen in den jeweiligen Artikeln beschrieben (s. o. Spezialfälle). Für \( n = 4 \) kann die Funktionsgleichung gleich Null gesetzt werden. Man erhält eine quartische Gleichung, die gelöst werden kann. Für größere \( n \) müssen die Nullstellen meist geraten werden. Dies geschieht am besten mit dem Horner-Schema. Da alle Nullstellen einer ganzrationalen Funktion entweder Teiler des Leitkoeffizienten \( a_n \) oder des Absolutgliedes \( a_0 \) sein müssen, werden die möglichen Nullstellen schon recht gut eingegrenzt. Beispiel Extrempunkte Um die Extrempunkte einer quadratischen Funktion zu bestimmen, benötigt man die erste und zweite Ableitung. Dann kann man folgendermaßen vorgehen. Notwendige Bedingung $$ f\, '(x) = 0 $$ Hinreichende Bedingung $$ f''(x) \neq 0 $$ Symmetrie Gerade Funktion Wenn alle Exponenten gerade Zahlen sind, nennt man die ganzrationale Funktion gerade. Sie ist dann achsensymmetrisch zur Y-Achse. Es gilt: $$ f(-x) = f(x) $$ Ungerade Funktion Wenn alle Exponenten ungerade Zahlen sind, nennt man die ganzrationale Funktion ungerade.
Gib den Grad und die auftretenden Koeffizienten a i an (mit a i ist der Faktor vor x i gemeint) Ein ganzrationaler Term kann evtl. in faktorisierter Form vorliegen, d. h. als Produkt von mehreren Teiltermen (jeder davon ebenfalls ganzrational). Um die übliche Darstellung zu erhalten (Summe von x-Potenzen mit jeweiligem Koeffizient), muss man die Klammern ausmultiplizieren. Dabei ist das Distributivgesetz ("jeder mit jedem") anzuwenden.. Multipliziere aus und gibt die Koeffizienten usw. an, die vor usw. stehen. Bei einer ganzrationalen Funktion entscheidet die größte x-Potenz mitsamt ihrem Koeffizienten, von wo der Graph kommt und wohin er geht: Exponent ungerade, Koeffizient positiv (z. 5x³): von links unten nach rechts oben Exponent ungerade, Koeffizient negativ (z. -2x): von links oben nach rechts unten Exponent gerade, Koeffizient positiv (z. ½x²): von links oben nach rechts oben Exponent gerade, Koeffizient negativ (z. -x²): von links unten nach rechts unten Liegt ein Funktionsterm in faktorisierter Form vor, also f(x) = p(x) · q(x) [evtl.
gerade Vielfachheit (also doppelt, vierfach, sechsfach usw. ) bedeutet, dass der Graph die x-Achse an der betreffenden Stelle berührt ("Nullstelle ohne Vorzeichenwechsel"). Ein quadratischer Term (q · x² + r · x + s) kann evtl. als Produkt von zwei linearen Termen (linear ist z. x + 2) geschrieben werden. Dies hängt von den Lösungen der entsprechenden Nullgleichung (Mitternachtsformel! ) ab:
Zwei unterschiedliche Lösungen a und b: der Term zerfällt in q · (x − a) · (x − b). Eine Lösung a: der Term zerfällt in q · (x − a)². Keine Lösung ("Minus unter der Wurzel"): der Term ist nicht zerlegbar. Zerlege, falls möglich, in Linearfaktoren:
Polynomdivision funktioniert ähnlich wie die schriftliche Division, die du bereits aus der Grundschule kennst. Wenn man ein Polynom vom Grad n durch ein Polynom vom Grad m Soziale Netzwerke
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