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Geschrieben von: Dennis Rudolph Sonntag, 07. Juni 2020 um 13:19 Uhr Die Umwandlung einer Ebene von Koordinatengleichung in Parametergleichung sehen wir uns hier an. Dies sind die Themen: Eine Erklärung, wie man Ebenen umwandelt. Beispiele für die Umwandlung von Koordinatendarstellung in Parameterdarstellung. Aufgaben / Übungen zum Umwandeln von Ebenen. Ein Video zur Ebenenumwandlung. Ein Frage- und Antwortbereich zu diesem Gebiet. Tipp: Wenn ihr den umgekehrten Weg auch sehen möchtet bieten wir dies unter Koordinatengleichung zu Parametergleichung an. Von Koordinatengleichung zur Parametergleichung | Mathelounge. Koordinatenform in Parameterform Beispiel In der analytischen Geometrie ist es manchmal wichtig eine Ebene in eine andere Darstellung zu bringen. Hier sehen wir uns an wie man von der Koordinatenform in die Parameterform kommt. Beispiel 1: Koordinatengleichung in Parametergleichung Berechne eine mögliche Parametergleichung der folgenden Koordinatengleichung. Lösung: Im ersten Schritt stellen wir die Gleichung nach z um. Im zweiten Schritt setzen wir x = r und y = s.
Dies funktioniert selbst dann, wenn die quadratische Gleichung nicht in der Form ( x − c) 2 + ( y − d) 2 + ( z − e) 2 = r 2 gegeben ist. Durch Umformen und quadratische Ergänzung schafft man sich die gewünschte Form der allgemeinen Koordinatengleichung einer Kugel. Beispiel 3: x 2 + y 2 + z 2 − 2 x + 6 y − z + 5, 25 = 0 Man formt die gegebene Gleichung um in ( x 2 − 2 x) + ( y 2 + 6 y) + ( z 2 − z) = − 5, 25 und erhält nach Ausführen der quadratischen Ergänzung und Zusammenfassen; ( x − 1) 2 + ( y + 3) 2 + ( z − 0, 5) 2 = − 5, 25 + 1 + 9 + 0, 25 ( x − 1) 2 + ( y + 3) 2 + ( z − 0, 5) 2 = 5 Also wird durch diese Gleichung eine Kugel mit dem Mittelpunkt M ( 1; − 3; 0, 5) und dem Radius r = 5 beschrieben. Anmerkung: Sollte sich beim Umformen einer solchen Gleichung auf der rechten Seite jedoch eine Zahl kleiner gleich null ergeben, kann es sich nicht um eine Kugelgleichung handeln, denn r 2 muss stets größer als null sein.
Dabei haben wir x, y und z zu Beginn der Gleichungen und auf der rechten Seite tauchen r und s entsprechend auf. Die oberste Gleichung lösen wir nach r auf. Die mittlere Gleichung lösen wir nach s auf. Wir haben r = x - 2 und s = 0, 5y - 1, 5 ausgerechnet. Dies setzen wir in die unterste Ausgangsgleichung mit z = 4 + 5r + 3s ein. Im Anschluss multiplizieren wir die Klammern aus und formen die Gleichung so um, dass die Zahl 10, 5 auf der rechten Seite der Gleichung steht und der Rest auf der linken Seite der Gleichung. Die Ebene in Koordinatengleichung wird mit 5x + 1, 5y - z = 10, 5 beschrieben. Anzeige: Parametergleichung in Koordinatengleichung Beispiel 2 In diesem Abschnitt sehen wir uns noch ein Beispiel für die Umwandlung von Parameterdarstellung in Koordinatendarstellung an. Dabei ist das Gleichungssystem jedoch etwas anspruchsvoller zu lösen. Beispiel 2: Parameterdarstellung in Koordinatendarstellung Wir bilden wie im Beispiel 1 erneut Zeile für Zeile die Gleichungen. Es entsteht dieses lineare Gleichungssystem.