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Chinesischer Restsatz (auch chinesischer Restklassensatz genannt) ist der Name mehrerer ähnlicher Theoreme der abstrakten Algebra und Zahlentheorie. Simultane Kongruenzen ganzer Zahlen [ Bearbeiten | Quelltext bearbeiten] Eine simultane Kongruenz ganzer Zahlen ist ein System von linearen Kongruenzen für die alle bestimmt werden sollen, die sämtliche Kongruenzen gleichzeitig lösen. Wenn eine Lösung existiert, dann sind mit die Zahlen genau alle Lösungen, wobei für das kleinste gemeinsame Vielfache steht. Es kann aber auch sein, dass es gar keine Lösung gibt. Teilerfremde Moduln [ Bearbeiten | Quelltext bearbeiten] Herleitung [ Bearbeiten | Quelltext bearbeiten] Die Originalform des chinesischen Restsatzes stammt aus dem Buch Sūn Zǐ Suànjīng ( chinesisch 孫子算經 / 孙子算经 – "Sun Zis Handbuch der Arithmetik") des Mathematikers Sun Zi (vermutlich 3. Jh. Chinesischer Restsatz mit Polynomen | Mathelounge. [1] [2]) und wurde 1247 von Qin Jiushaos Shùshū Jiǔzhāng ( 數書九章 / 数书九章 – "Mathematische Abhandlung in neun Kapiteln") wiederveröffentlicht. Der Satz trifft eine Aussage über simultane Kongruenzen für den Fall, dass die Moduln teilerfremd sind.
Im nächsten Schritt schauen wir uns an, wie man mit einem System aus drei linearen Kongruenzen verfährt. Gleichzeitig soll auf der rechten Seite der allgemeine Fall dargestellt werden. In unserem Eingangsbeispiel haben wir gesehen, dass alle Lösungen kongruent zum kgv m aller Moduln sind, da diese paarweise teilerfremd sind, ist m gerade das Produkt aller Moduln. Dieses berechnen wir als aller erstes: Hier können wir nicht mehr gegenseitig die Inversen finden, da wir mehrere lineare Kongruenzen haben, doch wir gehen so ähnlich dividieren m durch ein Modul und finden zu diesem Quotienten im heraus dividierten Modul das Inverse. Berechnen Sie mit Chinesischem Restsatz 2^413 mod 225 | Mathelounge. Das heißt alle anderen Moduln stecken in der Zahl drin zu der das Inverse gesucht wird. Jetzt finden wir durch Ausprobieren die Inversen. Vorher prüfen wir noch, ob die lineare Kongruenz überhaupt lösbar ist, indem wir schauen ob der ggT(k i, m i)= 1 ist, so wie wir das schon im Kapitel zu den linearen Kongruenzen gemacht haben. Jetzt können wir schon unser x zusammensetzen und zwar genauso wie in unserem Beispiel mit zwei linearen Kongruenzen: Das gefundene x löst das System, denn modulo 2 ergibt der 2. und 3.
Schönen Gruß, Jens Post by Jens Voß Post by Bernd Schneider Hi, ich habe mal eine ganz einfache Frage zum chinesischen Restsatz und seiner Anwendung zur Entschlüsslung im Falle von RSA. Seien p, q prim und m^{ed-1} = 1 (mod p) m^{ed-1} = 1 (mod q) m^{ed-1} = 1 (mod pq) Ist a = 1 (mod p) a = 1 (mod q) so ist dies gleichbedeutend mit a - 1 = 0 (mod p) a - 1 = 0 (mod q) Mit anderen Worten, sowohl p als auch q sind Teiler von a - 1. a - 1 = 0 (mod pq) oder a = 1 (mod pq) Ok! Das ist gut, aber kannst Du mir vielleicht erklären, wieso z. B. auf im "Beweis" Abschnitt schreiben.... "Mithilfe eines Spezialfalles des chinesischen Restsatzes können nun die Kongruenzen modulo p und modulo q unter der Bedingung N=pq zu der gesuchten Kongruenz modulo N kombiniert werden. " Außerdem steht überall, dass man mit Hilfe des CRT die Entschlüsselung erheblich beschleunigen kann. Chinesischer restsatz rechner. Würde man da wie folgt vorgehen, wenn ich z. m^d mod n berechnen muss: Ausgehend von 1. x = m^d (mod p) <==> x = x_1 (mod p) 2. x = m^d (mod q) <==> x = x_2 (mod q) benutze CRT um x zu berechnen, wie folgt: x = x_1 * q * (q^{-1} mod p) + x_2 * p * (p^{-1} mod q) mod n Ist das korrekt?
Bei Fünfergruppen klappt es endlich. Wieviele Schüler sind in der Klasse? Lösung: Sei x die gesuchte Anzahl. Aus und folgern wir mittels -1*3+1*4=1:. Weiter folgt aus mit -2*12+5*5=1:. Die Klasse enthält also mindestens 55 Schüler.
Eine mgliche Implementierung in der funktionalen Programmiersprache Haskell ist im Folgenden angegeben. Die Parameter der Funktion sind wiederum eine Liste nn von Moduln und eine Liste rr von zugehrigen Resten. Bestehen diese Listen nur aus einem Element n bzw. einem Element r, so wird ( n, r) zurckgegeben. Ansonsten wird rekursiv nach dem oben angegebenen Verfahren gerechnet. chineseRemainder:: [ Integer] -> [ Integer] -> ( Integer, Integer) chineseRemainder [n][r] = (n, r) chineseRemainder nn rr = (m*n, x) where k = length nn ` div ` 2 (m, a) = chineseRemainder ( take k nn) ( take k rr) (n, b) = chineseRemainder ( drop k nn) ( drop k rr) (g, u, v) = extgcd m n x = (b-a) * u ` mod ` n * m + a Die Funktion extgcd fhrt die Berechnung des erweiterten euklidischen Algorithmus aus. Auf der Demo Stellen wir uns in Zehnerreihen auf, ist einer zu wenig. Euklids Algorithmus, erweiterter Euklid, chinesischer Restsatz - Code World. Stellen wir uns in Neunerreihen auf, ist ebenfalls einer zu wenig. So geht es weiter bis zu Zweierreihen, wo auch einer fehlt. Wieviele sind wir?
(Unter 3000). Hinweis: Bei der Anwendung des chinesischen Restsatzes mssen die Moduln teilerfremd sein. In diesem Fall ist die Lsung sogar noch einfacher. Wenn die Reste alle gleich sind, so ergibt sich die Lsung als das kleinste gemeinsame Vielfache (kgV) der Moduln plus diesem Rest. Dieser Rest ist hier -1. [AHU 74] A. V. Aho, J. E. Hopcroft, J. D. Ullman: The Design and Analysis of Computer Algorithms. Addison-Wesley (1974) [CLRS 01] T. H. Cormen, C. Leiserson, R. Chinesischer restsatz rechner grand rapids mi. L. Rivest, C. Stein: Introduction to Algorithms. 2. Auflage, The MIT Press (2001) [Lan 12] H. W. Lang: Algorithmen in Java. 3. Auflage, Oldenbourg (2012) [Weitere Informationen] [Lan 18] H. Lang: Kryptografie fr Dummies. Wiley (2018) [Weitere Informationen]
( − 13) ⋅ 3 + 2 ⋅ 20 = 1 (-13) \cdot 3 + 2 \cdot 20 = 1, also e 1 = 40 e_1 = 40 ( − 11) ⋅ 4 + 3 ⋅ 15 = 1 (-11) \cdot 4 + 3 \cdot 15 = 1, also e 2 = 45 e_2 = 45 5 ⋅ 5 + ( − 2) ⋅ 12 = 1 5 \cdot 5 + (-2) \cdot 12 = 1, also e 3 = − 24 e_3 = -24 Eine Lösung ist dann x = 2 ⋅ 40 + 3 ⋅ 45 + 2 ⋅ ( − 24) = 167 x = 2 \cdot 40 + 3 \cdot 45 + 2 \cdot (-24) = 167. Wegen 167 ≡ 47 m o d 60 167 \equiv 47 \mod 60 sind alle anderen Lösungen also kongruent zu 47 modulo 60. Allgemeiner Fall Auch im Fall, dass die Moduln nicht teilerfremd sind, existiert manchmal eine Lösung. Die genaue Bedingung lautet: Eine Lösung der simultanen Kongruenz existiert genau dann, wenn für alle i ≠ j i \neq j gilt: a i ≡ a j m o d ggT ( m i, m j) a_i \equiv a_j \mod \ggT(m_i, m_j). Eine simultane Kongruenz lässt sich im Falle der Existenz einer Lösung z. durch sukzessive Substitution lösen, auch wenn die Moduln nicht teilerfremd sind. Ein klassisches Rätsel besteht darin, die kleinste natürliche Zahl zu finden, die bei Division durch 2, 3, 4, 5 und 6 jeweils den Rest 1 lässt, und durch 7 teilbar ist.
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