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100 Aufrufe Aufgabe: Hallo, ich komme bei Teilaufgabe b) nicht mehr weiter. Ich würde mich freuen, wenn ihr mir helfen könntet. Die Aufgabe lautet wie folgt: Es gibt einen weiteren Punkt auf Geraden \(g: \vec{x}=\left(\begin{array}{l}-6 \\ 4 \\ 4\end{array}\right)+r \cdot\left(\begin{array}{c}-3 \\ 1 \\ 1\end{array}\right) \), der von Ebene \( E: 2 x_{1}+10 x_{2}+11 x_{3}=252 \) den Abstand d aus Aufgabenteil a) ( 15; siehe Rechnung) hat. Den Abstand von Ebene | Mathelounge. Berechnen Sie seine Koordinaten. Problem/Ansatz: Aufgabenteil a) habe ich gelöst. Bei b) weiß ich jedoch nicht mehr weiter.
Wenn ich mich nicht täusche ist dieser ja -42; 16;16. Ja, eine Probe bestätigt das. Dieser Punkt liegt auch in der gegebenen Ebene \( E: 2 x_{1}+10 x_{2}+11 x_{3}=252 \). Jetzt brauchst du dazu zwei Parallelebenen im Abstand 15. Witzigerweise hat der Normalenvektor \( \begin{pmatrix} 2\\10\\11 \end{pmatrix} \) dieser Ebene genau den Betrag 15. Wenn du also zum Ortsvektor von (-42; 16;16. ) diesen Vektor addierst, bekommst du den Ortsvektor des Punktes (-40|26|27). Die Parallelebene mit diesem Punkt hat die Gleichung \( E: 2 x_{1}+10 x_{2}+11 x_{3}=d\), und das richtige d erhält man, wenn man die Koordinaten von (-40|26|27) einsetzt, erhält man d=477. Abstand Punkt von der Ebene? (Schule, Mathematik, Analytische Geometrie). Die eine Parallelebene im Abstand 15 ist also \( 2 x_{1}+10 x_{2}+11 x_{3}=477\). Die andere Parallelebene (einen Punkt darin bekommst du, wenn du vom Ortsvektor von (-42; 16;16. ) den Normalenvektor subtrahierst) hat die Gleichung \( 2 x_{1}+10 x_{2}+11 x_{3}=27\). Die Schnittpunkte der Gerade mit den Ebenen \( 2 x_{1}+10 x_{2}+11 x_{3}=477\) und \( 2 x_{1}+10 x_{2}+11 x_{3}=27\).
Die Potenz des Punktes P (siehe Abbildung 1) kann äquivalent als das Produkt der Entfernungen vom Punkt P zu den beiden Schnittpunkten einer beliebigen Geraden durch P definiert werden. In Fig. 1 schneidet beispielsweise ein von P ausgehender Strahl den Kreis in zwei Punkten M und N, während ein Tangentenstrahl den Kreis in einem Punkt T schneidet; der horizontale Strahl von P schneidet den Kreis bei A und B, den Endpunkten des Durchmessers. Ihre jeweiligen Entfernungsprodukte sind untereinander und mit der Potenz des Punktes P in diesem Kreis gleich P T ¯ 2 = P M ¯ × P Nein ¯ = P EIN ¯ × P B ¯ = ( so − r) × ( so + r) = so 2 − r 2 = ha 2. Abstand eines punktes von einer ebene. {\displaystyle \mathbf {\overline {PT}} ^{2}=\mathbf {\overline {PM}} \times \mathbf {\overline {PN}} =\mathbf {\overline {PA}} \times \ mathbf {\overline {PB}} =(sr)\times (s+r)=s^{2}-r^{2}=h^{2}. } Diese Gleichheit wird manchmal als "Sekanten-Tangens-Theorem", "Intersecting Chords Theorem" oder "Power-of-a-Point-Theorem" bezeichnet. Falls P innerhalb des Kreises liegt, liegen die beiden Schnittpunkte auf verschiedenen Seiten der Geraden durch P; man kann davon ausgehen, dass die Gerade eine Richtung hat, so dass einer der Abstände negativ ist und somit auch das Produkt der beiden.
Die Potenz eines Punktes wird in vielen geometrischen Definitionen und Beweisen verwendet. Zum Beispiel ist die Wurzelachse zweier gegebener Kreise die gerade Linie, die aus Punkten besteht, die die gleiche Potenz zu beiden Kreisen haben. Für jeden Punkt auf dieser Linie gibt es einen eindeutigen Kreis, der auf diesem Punkt zentriert ist und die beiden gegebenen Kreise orthogonal schneidet; äquivalent können Tangenten gleicher Länge von diesem Punkt an beide gegebenen Kreise gezogen werden. In ähnlicher Weise ist das radikale Zentrum von drei Kreisen der eindeutige Punkt mit gleicher Stärke für alle drei Kreise. Es existiert ein einzigartiger Kreis, zentriert auf dem Radikalzentrum, der alle drei gegebenen Kreise orthogonal schneidet, äquivalent, Tangenten, die vom Radikalzentrum an alle drei Kreise gezogen werden, haben die gleiche Länge. Abstand eines punktes von einer ebene berlin. Das Potenzdiagramm einer Menge von Kreisen unterteilt die Ebene in Bereiche, in denen der die Potenz minimierende Kreis konstant ist. Ganz allgemein definierte der französische Mathematiker Edmond Laguerre die Potenz eines Punktes in Bezug auf jede algebraische Kurve auf ähnliche Weise.
Der Rauminhalt ist aber auch die Grundfläche des Spates mal die gesuchte Höhe. Wenn Du also das Spatprodukt durch die Grundfläche teilst, bekommst Du die Höhe. Die Grundfläche entspricht dem Betrag des Normalenvektors der Ebene, also 3. Einen Punkt auf der Geraden hast Du bereits, nämlich den Aufpunkt Q (3|3|4). Einen Punkt P auf der Ebene bekommst Du am einfachsten, wenn Du zwei Koordinaten gleich Null setzt: x+2*0+2*0=8, also x=8 und P=(8|0|0). PQ=Q-P=(3/3/4)-(8/0/0)=(-5/3/4). n gleich (1/2/2). (-5/3/4)·(1/2/2)=9, das Volumen des Spates. Das geteilt durch die Grundfläche 3 ergibt als Höhe 3. Abstand Gerade- ebene? (Schule, Mathe, Mathematik). Diese Höhe ist aber nichts anderes als der Abstand zwischen Gerade und Ebene. Arbeite immer mit Beträgen, so bekommst Du keine negativen Werte für die Höhen bei solchen Aufgaben. Herzliche Grüße, Willy Du müßtest [ (3/3/4) - (0/0/4)] * (1/2/2) /3 = d rechnen! Woher ich das weiß: Beruf – Lehrer für Mathematik und Physik i. R.
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