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Mathematisch könnte man folgende Notation für diese Tatsache verwenden. \$lim_{x -> -1-0} f(x) ->-oo\$ (Annäherung an -1 von links) und \$lim_{x->-1+0} f(x) ->+oo\$ (Annäherung an -1 von rechts) Wie kommt es aber zu diesem Vorzeichenwechsel? An der Stelle -1 ändert im gesamten Term von f nur der Faktor \$x+1\$ im Nenner sein Vorzeichen, alles andere bleibt vom Vorzeichen her gleich, also muss an dieser Stelle ein Vorzeichenwechsel vorliegen. Dieser Vorzeichenwechsel liegt immer dann vor, wenn die betrachtete Nullstelle im Nenner eine ungerade Potenz aufweist, in diesem Fall also die Potenz 1. Bei den Potenzen 3 oder 5 usw. läge ebenfalls eine Polstelle mit Vorzeichenwechsel vor. Man spricht hier auch von einer ungeraden Polstelle. 2. 3. Gerade Polstelle An der Stelle \$x=3\$ erkennt man eine Polstelle ohne Vorzeichenwechsel. Unabhängig davon, ob man sich der Stelle \$x=3\$ von links oder von rechts annähert, der Wert divergiert immer gegen \$+oo\$. Der Grund liegt darin, dass die Nullstelle bei 3 eine gerade Nullstelle ist, d. Verhalten der funktionswerte 1. h. eine gerade Hochzahl hat.
Bei der Funktion \$f(x)={(x-1)(x+2)}/{(x-1)(x+1)(x-3)^2}\$ sind die x-Werte problematisch, für die der Nenner 0 wird. In diesem Fall sind das die Zahlen 1, -1 und 3. Dass für diese Werte vom Nenner der Wert 0 angenommen wird, ist in der faktorisierten Schreibweise des Nenners besonders einfach zu sehen, da man hier den Satz des Nullprodukts anwenden kann: wenn einer der drei Faktoren \$x-1\$, \$x+1\$ oder \$(x-3)^2\$ den Wert 0 annimmt, so wird dadurch der Nenner 0. Hat man eine solche Funktion gegeben, gibt die Definitionsmenge \$D_f\$ die Menge der Zahlen an, die problemlos in \$f\$ eingesetzt werden können. In unserem Beispiel sind dies alle reellen Zahlen außer den genannten Werte 1, -1 und 3. In mathematischer Schreibweise notiert man diese Tatsache als \$D_f=RR\\{-1;1;3}\$, gesprochen als "R ohne …". Betrachtet man den Graphen von f, so sieht man, dass sich die Definitionslücken bei -1, 1 und 3 unterschiedlich äußern: Figure 1. Graph der Funktion f 2. 1. Verhalten der funktionswerte der. Hebbare Definitionslücken Im Term von f fällt auf, dass der Faktor \$(x-1)\$ in Zähler und Nenner gleichermaßen vorkommt, so dass man hier kürzen könnte.
Anmerkungen: Der obige Satz gibt eine Bedingung für die Monotonie einer Funktion an, die notwendig und hinreichend ist. Wenn man im ersten Teil des Beweises f '(x) > 0 voraussetzt, so folgt stets f ( x 2) > f ( x 1). Funktionenschar: fk(x)=0,5x²+k/x – Verhalten der Funktionswerte untersuchen » mathehilfe24. Der Beweis gilt also auch für strenge Monotonie. Der zweite Beweisteil ist hingegen für strenge Monotonie nicht allgemeingültig: Wenn eine Funktion f streng monoton wachsend ist, dann müsste stets f '(x) > 0 gelten. Ein Gegenbeispiel dazu stellt die Funktion f ( x) = x 3 dar, die zwar streng monoton wachsend ist, für die aber f '(0) = 0 gilt. Obiger Satz ist für strenge Monotonie folglich nur hinreichend.