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Hi, a) Das ist eigentlich schon Begründung genug. Wenn Du tatsächlich noch was hinschreiben willst, so kannst Du mit der je höchsten Potenz in Zähler und Nenner ausklammern und kürzen. Grenzwert gebrochen rationale funktionen in 10. Du solltest dann schnell sehen was passiert;). b) Selbiges (Zur Kontrolle: -5/ Zählergrad dem Nennergrad entspricht, brauchen wir nur die Vorfaktoren der höchsten Potenzen) c) Hier kannst Du Zähler und Nenner faktorisieren (Nullstellen bestimmen). Dann Kürzen und Einsetzen. --> lim_(x->3) ((x-3)(x+2))/((x-3)(x+1)) = lim (x+2)/(x+1) = 5/4 d) Selbiges: --> lim ((x+3)(x+2))/((x+3)(x-1)) = 1/4 Grüße
Es gelten die Grenzwerte: $\lim\limits_{x\to+\infty} f(x)=\frac32$ und $\lim\limits_{x\to-\infty} f(x)=\frac32$ Zählergrad > Nennergrad Hier gibt es mehrere Möglichkeiten. Es ist unnötig kompliziert alle auswenidg zu lernen. Daher am besten hier mit der Wertetabelle arbeiten. Wer geübt mit Grenzwerten ist, kann hier Polynomdivision anwenden und dann den Grenzwert leicht ablesen. Wenn man für $x$ unendlich einsetzt bekommt man auch für den Grenzwert unendlich. Grenzwerte bei gebrochenrationalen Funktionen. $\lim\limits_{x\to+\infty} \frac{x^2-3x-4}{x+2}$ $=\lim\limits_{x\to+\infty} (x-5+\frac{6}{x+2})$ $="+\infty"$
Da der Zählergrad $n$ größer ist als der Nennergrad $m$, $n$ und $m$ ungerade sind sowie $\frac{a_n}{b_m} > 0$ gilt, strebt die Funktion für $x \to -\infty$ gegen $+\infty$: $$ \lim_{x\to-\infty} \frac{3x^3-4}{2x-5} = +\infty $$ Anmerkung $$ \begin{array}{c|c|c|c|c} x & -10 & -100 & -1. Grenzwert gebrochen rationale funktionen in de. 000 & \cdots \\ \hline f(x) & \approx 120{, }16 & \approx 14634{, }17 & \approx 1496259{, }35 & \cdots \end{array} $$ Beispiel 9 Berechne den Grenzwert der Funktion $$ f(x) = \frac{3x^3-4}{-2x-5} $$ für $x\to-\infty$. Da der Zählergrad $n$ größer ist als der Nennergrad $m$, $n$ und $m$ ungerade sind sowie $\frac{a_n}{b_m} < 0$ gilt, strebt die Funktion für $x \to -\infty$ gegen $-\infty$: $$ \lim_{x\to-\infty} \frac{3x^3-4}{-2x-5} = -\infty $$ Anmerkung $$ \begin{array}{c|c|c|c|c} x & -10 & -100 & -1. 000 & \cdots \\ \hline f(x) & \approx -200{, }27 & \approx -15384{, }64 & \approx -1503759{, }4 & \cdots \end{array} $$ * Mit verschieden ist hier einmal gerade und einmal ungerade gemeint. Beispiel 10 Berechne den Grenzwert der Funktion $$ f(x) = \frac{3x^2-4}{2x-5} $$ für $x\to-\infty$.