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In diesem Kapitel sprechen wir über die Vielfachheit von Nullstellen. Dabei interessiert uns, wie man die Vielfachheit einer Nullstelle berechnet und wie sich verschiedene Vielfachheiten in einem Koordinatensystem voneinander unterscheiden. Einordnung Der Ansatz zur Berechnung einer Nullstelle lautet folglich: $f(x) = 0$. Beispiel 1 Berechne die Nullstelle der linearen Funktion $f(x) = x - 5$. Vielfachheit von nullstellen bestimmen. Funktionsgleichung gleich Null setzen $$ x - 5 = 0 $$ Gleichung lösen $$ \begin{align*} x - 5 &= 0 &&|\, +5 \\[5px] x &= 5 \end{align*} $$ Die Funktion $f(x) = x - 5$ hat an der Stelle $x = 5$ eine Nullstelle. Dort schneidet der Graph der Funktion die $x$ -Achse. Manchmal kommt eine bestimmte Nullstelle mehrfach vor. Wir können also ihre Vielfachheit angeben. Definition Beispiel 2 In der Funktion $$ f(x) = x - 5 $$ kommt die Nullstelle $x = 5$ nur einmal vor. Es handelt es also um eine einfache Nullstelle oder eine Nullstelle mit der Vielfachheit 1. Beispiel 3 In der Funktion $$ f(x) = (x - 5)^2 = (x-5)(x-5) $$ kommt die Nullstelle $x = 5$ zweimal vor.
Praktische Schwierigkeiten treten dabei aber an jenen Stellen auf, wo f' eine Nullstelle hat, f aber nicht, also an Polstellen der Funktion u.
Damit wir am Funktionsterm feststellen können, ob der Graph an den Nullstellen die x x -Achse überquert (VZW) oder nur berührt (kein VZW), brauchen wir den Begriff des Linearfaktors. Du hattest schon festgestellt, dass die Graphen von f, g f, g und h h die gleichen Nullstellen haben. Ihre Linearfaktordarstellungen werden also sehr ähnlich sein. Ausrechnen der Vielfachheit von Nullstellen? | Mathelounge. Hier findest du wieder die Graphen von f, g f, g und h h. Darunter sind die dazugehörigen Funktionsterme f ( x), g ( x) f(x), g(x) und h ( x) h(x) in Linearfaktordarstellung angezeigt. Vergleiche die Linearfaktoren ( x + 2), ( x − 1) (x+2), (x-1) und ( x − 3) (x-3) in den verschiedenen Funktionsvorschriften. Was fällt dir auf? f ( x) f(x) = 1 5 ( x + 2) 2 ( x − 1) ( x − 3) \frac{1}{5}(x+2)\color{red}^{2}\color{black}(x-1)(x-3) g ( x) g(x) = 1 5 ( x + 2) ( x − 1) 2 ( x − 3) \frac{1}{5}(x+2)(x-1)\color{red}^{2}\color{black}(x-3) h ( x) h(x) = 1 20 ( x + 2) 2 ( x − 1) 2 ( x − 3) 2 \frac{1}{20}(x+2)\color{red}^{2}\color{black}(x-1)\color{red}^{2}\color{black}(x-3)\color{red}^{2} Manche Linearfaktoren kommen in den Funktionstermen mehrmals vor, bzw. sind sie als Potenz (mit Exponent 2 \color{red}{2}) geschrieben.
Es handelt es also um eine zweifache Nullstelle oder eine Nullstelle mit der Vielfachheit 2. Beispiel 4 In der Funktion $$ f(x) = (x - 5)^3 = (x-5)(x-5)(x-5) $$ kommt die Nullstelle $x = 5$ dreimal vor. Es handelt es also um eine dreifache Nullstelle oder eine Nullstelle mit der Vielfachheit 3. Entsprechend gibt es Funktionen mit vierfachen, fünffachen, sechsfachen usw. Nullstellen. Graphische Bedeutung Beispiel 5 Die Funktion $$ f(x) = x $$ besitzt an der Stelle $$ x = 0 $$ eine Nullstelle der Vielfachheit 1. $\Rightarrow$ Vorzeichenwechsel Beispiel 6 Die Funktion $$ f(x) = x^2 $$ besitzt an der Stelle $$ x = 0 $$ eine Nullstelle der Vielfachheit 2. WIKI Vielfachheit Nullstellen ganzrationale Funktionen. $\Rightarrow$ Kein Vorzeichenwechsel Beispiel 7 Die Funktion $$ f(x) = x^3 $$ besitzt an der Stelle $$ x = 0 $$ eine Nullstelle der Vielfachheit 3. $\Rightarrow$ Vorzeichenwechsel Beispiel 8 Die Funktion $$ f(x) = x^4 $$ besitzt an der Stelle $$ x = 0 $$ eine Nullstelle der Vielfachheit 4. $\Rightarrow$ Kein Vorzeichenwechsel Bedeutung in einer Kurvendiskussion Alle Freunde der Kurvendiskussion können aus der Vielfachheit einer Nullstelle noch weitere interessante Informationen ablesen: Zurück Vorheriges Kapitel Weiter Nächstes Kapitel
4. 4 ( 21) Jetzt Produkt bewerten Bewerten Zur leichten Entfernung von Ohrenschmalz Schonende und verträgliche Anwendung Inklusive Ohrenspritze Zum einfachen Ausspülen der Ohren weitere Packungsgrößen Packungsgröße: 10 ml PZN: 02028296 Darreichungsform: Lösung Verordnungsart: Ohne Rezept Anbieter: MEDA Pharma GmbH & Verfügbarkeit: Auf Lager X Artikel ist auf Lager und wird umgehend versendet. Abbildung ähnlich Noch bis zur versandkostenfreien Lieferung Info zu Versandkosten i Wir liefern versandkostenfrei, wenn Sie rezeptfreie Produkte ab 19 Euro Bestellwert kaufen oder wenn Sie ein Rezept einsenden. Ansonsten berechnen wir zusätzlich 2, 95 Euro Versandkosten. Alle Preise Inkl. gesetzl. OTOWAXOL sine Lösung - 10 ml - preisapo.de. MwSt. Schnelle Lieferung i Schnelle Lieferung in 1-2 Werktagen an Ihre Wunsch-Adresse. Sollten wir Ihr Medikament einmal nicht vorrätig haben, versuchen wir umgehend, es für Sie nachzubestellen. Falls die Auslieferung einer Rezeptbestellung einmal länger als 48 Stunden dauert, informieren wir Sie und senden Ihnen auf Wunsch Ihr Rezept zurück.
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