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\dfrac{n! Katalanische Zahlen: Eigenschaften und Anwendungen - Fortschritte in Mathematik. }{(2n)! }(t+1)^{2n} dt\\ &=\displaystyle \dfrac{(-1)^n}{2^n\binom{2n}{n}}\left[\dfrac{(t-1)^{2n+1}}{2n+1}\right]_{-1}^1\\ &=\displaystyle \dfrac{(-1)^n}{2^n\binom{2n}{n}}\dfrac{-(-2)^{2n+1}}{2n+1}\\ &=\displaystyle \dfrac{2^{n+1}}{(2n+1)\binom{2n}{n}} \end{array} Endlich haben wir: \langle L_n |L_n \rangle = \dfrac{\binom{2n}{n}}{2^n} \dfrac{2^{n+1}}{(2n+1)\binom{2n}{n}} = \dfrac{2}{2n+1} Frage 4: Wiederholungsbeziehung Wir können das schreiben, dank der Tatsache, dass der L i bilden eine Basis und das XL n ist ein Polynom vom Grad n+1. XL_n(X) = \sum_{k=0}^{n+1} a_kL_k(X) Allerdings stellen wir fest: \langle XL_n |L_k \rangle = \langle L_n |XL_k \rangle mit Grad (XL k) = k + 1. Wenn also k + 1 < n, dh k < n – 1: XL_k \in vector(L_0, \ldots, L_k) \subset L_n^{\perp} dann, a_k = \langle XL_n |L_k \rangle = \langle L_n |XL_k \rangle = 0 Wir können daher schreiben: XL_n(X) = aL_{n-1}(X) + bL_n(X) + cL_{n+1}(X) Wenn wir uns die Parität der Mitglieder ansehen, erhalten wir, dass b = 0.
Beachten Sie weiter, dass die Familie von L i ist gestaffelt. Also haben wir nur die Familie (L_i)_{1 \leq i \leq n-1} ist eine Grundlage von Wir haben: Q \in vect(L_0, \ldots, L_{n-1}) \subset vect(L_n)^{\perp} Was bedeutet, dass wir auf das Rechnen reduziert werden \angle L_n | \dfrac{\binom{2n}{n}}{2^n} X^n \rangle Wir haben dann: \angle L_n | X^n \rangle =\displaystyle \int_{-1}^1 L_n(t) t^n dt Wir machen wieder n Integration von Teilen zu bekommen \angle L_n | X^n \rangle = \dfrac{1}{2^n}\displaystyle \int_{-1}^1 (t^2-1)^n dt Dann! wurde vereinfacht, indem n-mal die Funktion, die t hat, mit t differenziert wurde n. Scheitelpunktform in gleichung bringen? (Schule, Mathe). Wir werden nun n partielle Integrationen durchführen, um dieses Integral zu berechnen. Auch hier sind die Elemente zwischen eckigen Klammern Null: \begin{array}{ll} \langle L_n | X^n \rangle &=\displaystyle \dfrac{1}{2^n}\displaystyle \int_{-1}^1 (t^2-1)^n dt\\ &=\displaystyle \dfrac{1}{2^n}\displaystyle \int_{-1}^1(t-1)^n(t+1)^n dt\\ &=\displaystyle \dfrac{(-1)^n}{2^n}\displaystyle \int_{-1}^1n!
Hei, ich hab so eine folgenden Aufgabe und das Thema finde ich etwas schwer.. Ich weiß echt nicht wann man tangens cosinus und Sinus einsetz, weil ich habe in der Aufgabe nur " klein c "und Alpha gegeben. Gesucht ist: b und a laut Lehrerin ist die Lösung das man tangens einsetzt.. aber ich weiß nicht warum?! Durch tangens rechne ich ja "a" aus. warum setzt man da nicht Sinus ein wenn ich da zb b rauskriegen möchte also eben ankathete durch Hypotenuse wenn doch tangens genauso ist?? gegenkathete durch ankathete ich habe doch dort auch die ankathete?? denn mit Sinus kann ich doch genau "b "auch Ausrechnen oder nicht? wenn Ihr das nicht versteht guckt mal bitte im Bild nach