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Möchtest du zusätzlich noch die Koordinaten des Schnittpunktes, verwendest du am besten den Lösungsweg des Lotfußpunktverfahrens. direkt ins Video springen Abstand Punkt Ebene Abstand Punkt Ebene Formel im Video zur Stelle im Video springen (00:47) Der schnellste Rechenweg, um direkt die kürzeste Distanz zwischen Punkt und Ebene zu bestimmen, ist die Abstandsformel. Der Abstand eines Punktes zu einer Ebene beträgt: Abstandsformel Punkt Ebene Ebene in Normalform: Ebene in Koordinatenform: Bei der Berechnung des Abstandes einer Ebene zu einem Punkt mit der Formel musst du diesen Schritten folgen: Abstand berechnen Falls die Ebenengleichung in Parameterform vorliegt, bestimme den Normalenvektor (liegt die Koordinaten- oder Normalenform vor, springe direkt zu Schritt 2). Abstand eines Punktes von einer Ebene berechnen. Setze die passenden Werte der Ebenengleichung und des Punktes in die Formel ein. Löse die Formel und berechne den Abstand. Beispiel "Abstandsformel" Wir suchen den Abstand zwischen dem Punkt und der Ebene E (in Parameterform gegeben).
Wir benutzen die Formel für den Betrag eines Vektors aus den Hinweisen. Durch Auflösen der Wurzel erhalten wir somit: In Formel einsetzen Im letzten Schritt setzen wir den berechneten Zähler und Nenner in unsere Formel ein. Abschließend erhalten wir also folgenden Abstand zwischen Punkt und Gerade:
Ist nach dem Abstand zwischen einem Punkt und einer Geraden gefragt, so sucht man immer die kürzeste Verbindung zwischen beiden. Im zweidimensionalen Raum sieht das folgendermaßen aus: Zunächst soll das Vorgehen ohne konktrete Zahlenwerte erläutert werden. Das mag dich zunächst vielleicht irritieren, weshalb der Rechenweg weiter unten noch mit einem Beispiel verständlich gemacht wird. Gegeben sind also eine Geradengleichung g und ein Punkt Q, die wie folgt definiert sind: Für die Formel müssen wir zunächst den Ortsvektor q zu unserem Punkt Q bilden. Mithilfe dieser Informationen kann jetzt der Abstand berechnet werden. Abstand. Hierfür setzen wir im Nenner den Betrag des Richtungsvektors u unserer Geradengleichung ein. Für den Zähler bilden wir das Kreuzprodukt desselben Richtungsvektors u sowie der Differenz aus dem Ortsvektor q unseres Punktes und dem Ortsvektor p unserer Geradengleichung, von dem wir anschließend ebenfalls den Betrag nehmen. Für den Nenner muss das Kreuzprodukt zweier Vektoren gebildet werden, was du am "x" erkennen kannst.
Möchtet ihr den Abstand eines Punktes zu einer Ebene berechnen, auch Lotfußpunktverfahren genannt, geht ihr so vor: Ihr formt, falls noch nicht der Fall, die Ebenengleichung in die Koordinatenform um.
Für den Abstand eines Punktes zu einer Ebene kann man verschiedene Verfahren nutzen. Das hier beschriebene Verfahren arbeitet mit der Formel, die oft über die Hesse'sche Normalenform (HNF) einer Ebene hergeleitet wird. Da die HNF in manchen Lehrplänen nicht mehr enthalten ist, werde ich die Formel an dieser Stelle etwas elementarer unter Zuhilfenahme des Skalarprodukts begründen. Anschließend folgen einige typische Beispiele. Formel für den Abstand Punkt – Ebene Der Abstand eines Punktes $P$ zu einer Ebene $E:\left( \vec x-\vec a\right)\cdot \vec n=0$ beträgt $d=\dfrac{\left|\left( \vec p-\vec a\right)\cdot \vec n\right|}{\left|\vec n\right|}$. Sie finden diese Formel auch in der Form $d=\left|\left( \vec p-\vec a\right)\cdot \vec n_0\right|$. In diesem Fall zieht man den Nenner $|\vec n|$ in den Zähler zum Normalenvektor und nutzt die Schreibweise $\vec n_0=\dfrac{\vec n}{|\vec n|}$ für den Einheitsvektor. Abstand von Punkt zu Gerade berechen ⇒ einfach erklärt. Diese Form scheint kompakter, ist bei der konkreten Berechnung jedoch unbequemer.
Das, was raus kommt, ist euer Abstand. Sollte der Wert negativ sein, nehmt den Betrag davon, denn ein Abstand kann ja schließlich nicht negativ sein. Sei folgende Ebene und Punkt gegeben:
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