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Um zu überprüfen, ob tatsächlich ein Extremum vorliegt und nicht etwa ein Sattelpunkt, wird die 2. Ableitung herangezogen. Diese führen auf die hinreichenden Bedingungen für das Extremum: Berechnung globaler Extrema Globale Extrema treten meist an den Rändern des Definitionsbereiches auf. Eine Grenzwertbetrachtung wäre als die richtige Methode, um globale Extrema zu bestimmen. In manchen Fällen, bspw. für die Funktion f ( x) = sin ( x) f(x)=\sin(x) sind die lokalen Extrema sogar gleich den globalen. Berechnung der y-Werte Man berechnet den y-Wert des möglichen Extremums an der Stelle x E x_E durch Einsetzen des erhaltenen x-Wertes in die Funktion f f (also f ( x E) = y E f(x_E)=y_E). Beispiele zur Berechnung von Extrema Beispielaufgabe 1 Bestimme das Extremum der Funktion f ( x) = x 2 − 1 f(x)=x^2-1. Beispiel Allgemein Bestimmung der 1. Ableitung | Aufgaben und Übungen | Learnattack. Ableitung Bestimmung der Nullstelle der 1. Ableitung Einsetzen von x E x _E in die 2. Ableitung ⇒ \Rightarrow bei x E x _E ist ein Tiefpunkt Bestimmung der y-Koordinate Beispielaufgabe 2 Untersuche die Funktion g ( x) = x 3 + 1 g(x)=x^3+1 auf Extrema.
Tiefpunkte bilden das Gegenstück zu den Hochpunkten, d. h. dass der Funktionsabschnitt vor der Extremstelle streng monoton fällt und nach der Extremstelle streng monoton wächst. Sattelpunkte Sattelpunkte stellen einen Sonderfall dar. Hochpunkt und Tiefpunkt. In dieserm Fall ist die Monotonie vor und nach dem Extrempunkt identisch, dennoch erreicht die Kurve kurz einen Punkt, an dem die Steigung der Kurve gleich Null ist (siehe dritte Abbildung). Um die Art eines Extrempunktes festzustellen, hilft die zweite Ableitung einer Funktion. Hierbei gilt folgender Zusammenhang: Kennt man eine Extremstelle an der Stelle x, so handelt es sich... um einen Hochpunkt, wenn f''(x) < 0 ist um einen Tiefpunkt, wenn f''(x) > 0 ist möglicherweise um einen Sattelpunkt, wenn f''(x) = 0 ist Voraussetzung ist widerum, dass die Funktion zumindest zweimal differenzierbar ist. Berechnung von Extremstellen Man geht folgendermaßen vor: Ermitteln der Extremstellen Dies erfolgt, indem die erste Ableitung f'(x) mit Null gleichgesetzt wird und die daraus resultierende Gleichung gelöst wird.
Wenn du folgende Schritte befolgst, kannst du ganz einfach die Extremstellen bestimmen: 1. Ermitteln der Extremstellen f'(x) = 0 auflösen 2. Art der Extremstellen ermitteln f''(x) für jede Extremstelle ermitteln und nach der Regel entscheiden, ob es ein Hoch-, Tief- oder Sattelpunkt ist 3. Funktionswert des Extrempunktes bestimmen Um die kompletten Koordinaten für die Extremstelle zu bestimmen, musst du den herausgefunden x-Wert in f(x) einsetzen und auflösen. Anmerkung: Du kannst Schritt 2 und 3 auch mehrmals durchführen, wenn es mehrere Extremstellen gibt. Beispiel Berechnung Extremstellen Polynomfunktionen: 1. Ableitungen bestimmen: 2. Extremwerte ermitteln: f´(x) = 0 2x+2 = 0 /-2 2x = -2 /:2 x = -1 Extremwert an der Stelle x = -1 3. Art des Extrempunktes ermitteln: f´´(x) = 2 f´´(-1) = 2 > 0 Die Extremstelle ist ein Tiefpunkt 4. Extremstellen berechnen (partielle Integration verboten). Funktionswert des Extrempunktes ermitteln: Antwort: Die Funktion besitzt einen Tiefpunkt bei T(-1/-2). Rationale Funktionen: 1. Ableitungen bilden: 2. Extremstellen ermitteln: Gleichung nicht lösbar Antwort: Da die Gleichung nicht lösbar ist, gibt es für diese Funktion keine Extremstellen.