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Bisweilen finden sich noch Bezeichnungen wie -Version oder -Version des schwachen Gesetzes der großen Zahlen für Formulierungen, die lediglich die Existenz der Varianz oder des Erwartungswertes als Voraussetzung benötigen. Formulierung [ Bearbeiten | Quelltext bearbeiten] Gegeben sei eine Folge von Zufallsvariablen, für deren Erwartungswert gelte für alle. Man sagt, die Folge genügt dem schwachen Gesetz der großen Zahlen, wenn die Folge der zentrierten Mittelwerte in Wahrscheinlichkeit gegen 0 konvergiert, das heißt, es gilt für alle. Interpretation und Unterschied zum starken Gesetz der großen Zahlen [ Bearbeiten | Quelltext bearbeiten] Aus dem starken Gesetz der großen Zahlen folgt immer das schwache Gesetz der großen Zahlen. Gültigkeit [ Bearbeiten | Quelltext bearbeiten] Im Folgenden sind verschiedene Voraussetzungen, unter denen das schwache Gesetz der großen Zahlen gilt, aufgelistet. Statistiktutorial | Gesetz der großen Zahlen. Dabei steht die schwächste und auch speziellste Aussage ganz oben, die stärkste und allgemeinste ganz unten.
Das schwache Gesetz der großen Zahlen ist eine Aussage der Wahrscheinlichkeitstheorie, die sich mit dem Grenzwertverhalten von Folgen von Zufallsvariablen beschäftigt. Dabei werden Aussagen über die Konvergenz in Wahrscheinlichkeit der Mittelwerte der Zufallsvariablen getroffen. Das schwache Gesetz der großen Zahlen ist eng mit dem starken Gesetz der großen Zahlen verwandt, dieses verwendet jedoch einen anderen Konvergenzbegriff, die fast sichere Konvergenz. Beide zählen zu den Gesetzen der großen Zahlen und damit zu den Grenzwertsätzen der Stochastik. Schwaches Gesetz der großen Zahlen – Wikipedia. Im Laufe der Zeit wurden die Voraussetzungen, unter denen das schwache Gesetz der großen Zahlen gilt, immer weiter abgeschwächt, während dementsprechend die zum Beweis nötigen Mittel immer fortgeschrittener wurden. Einige der geschichtlich bedeutsamen Formulierungen des schwachen Gesetzes der großen Zahlen tragen auch Eigennamen wie beispielsweise Bernoullis Gesetz der großen Zahlen (nach Jakob I Bernoulli), Tschebyscheffs schwaches Gesetz der großen Zahlen (nach Pafnuti Lwowitsch Tschebyschow) oder Khinchins schwaches Gesetz der großen Zahlen (nach Alexander Jakowlewitsch Chintschin).
Starkes und schwaches Gesetz der großen Zahlen Beim Gesetz der großen Zahlen unterscheidet man zwischen dem starken und dem schwachen Gesetz der großen Zahlen. Die beiden Gesetze unterscheiden sich darin, wie sicher die beobachtete Größe mit zunehmender Stichprobengröße gegen ihren theoretischen Erwartungswert konvergiert. Bernoulli gesetz der großen zahlen de. Ist diese Annäherung stochastisch wahrscheinlich, spricht man vom schwachen Gesetz der großen Zahlen. Ist sie hingegen fast sicher, findet das starke Gesetz der großen Zahlen Anwendung. Welches der beiden Gesetze jeweils zutrifft, hängt dabei von den Eigenschaften der betrachteten Zufallsvariable ab. Beispielsweise wird beim starken Gesetz der großen Zahlen vorausgesetzt, dass der Erwartungswert der Zufallsvariable endlich ist, während das schwache Gesetz der großen Zahlen nur annimmt, dass der Erwartungswert generell existiert. Gesetz der großen Zahlen für Erwartungswerte im Video zur Stelle im Video springen (03:36) Die Erkenntnis, dass sich die relative Häufigkeit mit zunehmendem Stichprobenumfang an die Wahrscheinlichkeit annähert, lässt sich generell auf die Erwartungswerte von Zufallsvariablen übertragen.