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In einem Halbkreis mit dem Durchmesser ergibt sich das arithmetische Mittel von und als Radius. Wählt man wieder als Durchmesser und konstruiert eine Orthogonale in dem Punkt, an dem sich und treffen, ergibt sich das geometrische Mittel als die Länge von diesem Punkt bis zum Schnittpunkt mit dem Halbkreis. [1] Diese Eigenschaft lässt sich mit dem Satz des Pythagoras beweisen und kann außerdem zur Quadratur (Bestimmung der Fläche) eines Rechtecks verwendet werden. Ein Rechteck mit den Seitenlängen und und ein Quadrat mit der Seitenlänge des geometrischen Mittels aus und haben denselben Flächeninhalt. Für beliebige Formen ( außer dem Kreis), für die sich ein Rechteck gleicher Fläche konstruieren lässt, kann so auch deren Flächeninhalt bestimmt werden. Halbkreis. Parametrisierung [ Bearbeiten | Quelltext bearbeiten] Der Halbkreis mit Radius und Mittelpunkt, der sich vollständig oberhalb von befindet, lässt sich durch folgende Gleichung beschreiben:. Der entsprechende Halbkreis, der vollständig unterhalb von liegt, lässt sich ausdrücken als:.
Sie bekommen schon in diesem Stadium eine kleine Idee vom axiomatischen Aufbau der Mathematik. Figuren im Halbkreis top 45-90-45-Dreiecke Aufrecht stehendes Dreieck: x=sqrt(2)r Auf der Spitze stehendes Dreieck: x=r Vierecke Aufrecht stehendes Quadrat: x=(2/5)sqrt(5)r Auf der Spitze stehendes Quadrat: x=(1/2)sqrt(2)r Doppelquadrat: x=(1/2)sqrt(2)r Kreise und Halbkreise Lösungen: 1 Drei Kreise: Es gilt (x+y)²=(x-y)²+s² und (r-y)²=s²+y² und x=r/2. Daraus folgt y=r/4. 2 Halbkreis: x=(1/2)sqrt(2)r 3 Drei Kreise und zwei Halbkreise: Es gilt (x+y)²=(r-x-y)²+x². Daraus folgt: x=[sqrt(2)-1]r, y=[3sqrt(2)-2]r. 4 Zwei Halbkreise und ein Kreis: Es gilt (x+y)²=(r-y)²+x². Daraus folgt: x=r/2, y= r/3. 5 Ein Kreis und zwei Halbkreise: Nach Drehung um 90° wie 4. Es gilt: x=r/2, y= r/3. Schwerpunkt eines Halbkreisbogens. 6 Schräg liegender Halbkreis im Halbkreis...... Es gibt beliebig viele schräg liegende Halbkreise im Halbkreis. (1) Zur Herleitung einer Formel errichtet man im Berührungspunkt des inneren Halbkreises eine Höhe h (1). Auf ihr liegt der Mittelpunkt.
Die Betrachtung der Schwerpunktkoordinaten erfolgt aufgrund der Symmetrie des Stehaufmännchens um die x-Achse nur entlang der x-Achse. Flächeninhalt des Halbkreises Die Fläche des Halbkreises wird als A 1 bezeichnet. Da eine Berechnung der Fläche des Halbkreises in kartesischen Koordinaten nur mit großem Aufwand möglich ist, werden hier Polarkoordinaten verwendet. Radius und Drehwinkel für die Berechnung der Fläche und des Schwerpunkts in Polarkoordinaten \[ \require{cancel} \] \[ \tag{1} A_1 = \int\limits_0^\pi \int\limits_0^r r \, dr \, d \phi \] \[ \tag{2} A_1 = \int\limits_0^\pi \frac{r^2}{2} d \phi \] \[ \tag{3} A_1 = \frac{\pi \cdot r^2}{2} \] Schwerpunkt der Halbkreises Schwerpunkt des Halbkreises Die Schwerpunktkoordinate des Halbkreises wird als x S1 bezeichnet. Zu beachten ist hier, dass die Sinus- und Kosinusfunktion in der Berechnung der x- und y-Koordinate auf das jeweilige Koordinatensystem angepasst sein muss. In diesem Fall ist für die hier gesuchte x-Komponente die Sinusfunktion zu verwenden.
Mehr findet man auf meiner Seite Kreisteile. Größte Figuren Dreieck, Rechteck und Trapez...... Es gibt viele Dreiecke, Rechtecke und gleichschenklige Trapeze, die in einen Halbkreis passen. Darunter gibt es jeweils eine Figur mit größtem Flächeninhalt (gelb) Fensterproblem...... Die drei nebenstehenden Rechtecke mit aufgesetztem Halbkreis haben den gleichen Umfang U. Vergleicht man die Flächeninhalte, so erkennt man vielleicht, dass die mittlere Figur den größten Flächeninhalt hat [Lösung: x=y=U/(4+Pi), s. u. ]. Diese Extremwertaufgabe ist bekannt. Sie wird meist so formuliert: Gegeben ist der Umfang eines rechteckigen Fensters mit einem aufgesetzten Rundbogen. Welche Maße muss das Rechteck haben, damit der Flächeninhalt möglichst groß ist, d. h. damit möglichst viel Licht einfällt? Man kann die Figur auch auf den Kopf stellen. Dann wird nach der Form eines Kanals gefragt, der möglichst viel Wasser durchlässt. Lösungen Dreieck Es gilt A=xy. Nebenbedingung x²+y²=r², Zielfunktion A²= r²x²-(x²)², [A²(x)]' =0 ergibt x=y=(1/2)sqrt(2)]r.