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Der Quotientenkörper des Rings der geraden ganzen Zahlen (ein Ring ohne Eins) ist ebenfalls der Körper. Der Quotientenkörper des Polynomrings wird häufig als der rationale Funktionenkörper definiert. Der Quadratische Zahlkörper ist der Quotientenkörper der Gaußschen Zahlen. Sei der Integritätsring der ganzen Funktionen und der Körper der auf meromorphen Funktionen. Mit dem Weierstraßschen Produktsatz sieht man, dass man jede auf meromorphe Funktion als Quotient zweier ganzer Funktionen schreiben kann, folglich ist. Literatur [ Bearbeiten | Quelltext bearbeiten] Thomas W. Hungerford: Algebra. 5. Auflage. Springer, 1989, ISBN 0-387-90518-9. Potenzen komplexer Zahlen | Maths2Mind. Zu Anwendungen in der Funktionentheorie: Eberhard Freitag, Rolf Busam: Funktionentheorie 1. 3. Springer, 2000, ISBN 3-540-67641-4.
Abstrakt definiert man den Quotientenkörper eines Ringes durch folgende universelle Eigenschaft: Ein Quotientenkörper ist ein Paar, wobei ein Körper und ein injektiver Ringhomomorphismus ist, mit der Eigenschaft, dass es für jedes Paar, wobei ein Körper und ein injektiver Ringhomomorphismus ist, genau einen injektiven Körperhomomorphismus gibt mit. Anschaulich bedeutet dies, dass man in jeden Körper, in den man einbetten kann, ebenfalls den Quotientenkörper von einbetten kann (wobei letztere Einbettung eine Fortsetzung der ersten ist). Aus der letztgenannten Eigenschaft folgt, dass der kleinste Körper ist, der enthält, und dass dieser bis auf Isomorphie eindeutig bestimmt ist, also ist es gerechtfertigt, von dem Quotientenkörper zu sprechen. Konstruktion [ Bearbeiten | Quelltext bearbeiten] Man kann den Quotientenkörper eines Rings wie folgt konstruieren: Erkläre auf die Äquivalenzrelation. Üblicherweise schreibt man für die Äquivalenzklasse von. Quotient komplexe zahlen deutsch. Man setzt nun gleich der Menge der Äquivalenzklassen:.
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Da eine vollständige Drehung um den Ursprung eine komplexe Zahl unverändert lässt, gibt es viele Möglichkeiten, die getroffen werden könnten indem Sie den Ursprung beliebig oft umkreisen. Dies ist in Abbildung 2 dargestellt, eine Darstellung der mehrwertigen (eingestellten) Funktion Dabei schneidet eine vertikale Linie (in der Abbildung nicht dargestellt) die Oberfläche in Höhen, die alle möglichen Winkeloptionen für diesen Punkt darstellen. Wenn eine gut definierte Funktion erforderlich ist, so ist die übliche Wahl, als der bekannte Hauptwert ist der Wert in dem Frei geschlossenem Intervall (-π rad, π rad], ist, die von -π bis & pgr; Radian, ohne -π rad selbst (äquiv. von –180 bis +180 Grad, ausgenommen –180 ° selbst). Dies entspricht einem Winkel von bis zu einem halben vollständigen Kreis von der positiven realen Achse in beide Richtungen. Mathematischer Vorkurs zum Studium der Physik. Einige Autoren definieren den Bereich des Hauptwerts als geschlossen-offen-Intervall [0, 2π]. Für den Hauptwert wird manchmal der Anfangsbuchstabe großgeschrieben, wie in Arg z, insbesondere wenn auch eine allgemeine Version des Arguments berücksichtigt wird.
Damit beschränkt sich der Beweis auf das Umrechnen der folgenden Beziehung unter Benutzung der Definition einer komplexen Zahl und der Regeln für die reellen Zahlen. Es handelt sich wieder um einfache Umwandlungen und sei deshalb dem Leser überlassen. Quotient komplexe zahlen 7. Potenzen [ Bearbeiten] Ohne nähere Herleitung können wir auch Potenzen mit natürlichen Exponenten benutzen, indem wir sie als mehrfache Multiplikation definieren und die Klammerregeln anwenden: Auch die Erweiterung auf ganzzahlige Exponenten können wir von den reellen Zahlen übernehmen: Die komplexen Zahlen bilden einen Körper [ Bearbeiten] Die im Abschnitt Hinweise stehenden Regeln für die reellen Zahlen gelten also genauso für die komplexen Zahlen. Damit ist auch ein Körper (im Sinne der Algebra). Aufgaben [ Bearbeiten] Gewandtheit im Umgang mit den komplexen Zahlen bekommt man durch Übung – bitte sehr. Übungen [ Bearbeiten] Beweise, dass die Summe, die Differenz, das Produkt und der Quotient der beiden komplexen Zahlen und wieder komplexe Zahlen sind.