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der Schuhgröße etwas abgeändert (da diese zu schön sind, d. h. perfekt auf einer Linie liegen – und damit existieren keine Differenzen). Das Streudiagramm für die 3 Messdaten inkl. der Regressionsgeraden (mit der auf den abgeänderten Daten basierenden Funktion: y i = α + β × x i = 34 + 0, 05 × x i): Anton hat eine Schuhgröße von 42, die lineare Regressionsfunktion berechnet für ihn einen "theoretischen" Wert von 34 + 0, 05 × 170 = 42, 5 (bei 170 cm Körpergröße geht die Gerade durch den y-Wert (Schuhgröße) 42, 5). Die "vertikalen Differenzen" zwischen den tatsächlichen Werten und den Werten auf der Regressionsgeraden sind die sog. Residuen, hier für Anton 42 - 42, 5 = -0, 5 (für Bernd und Claus sind die Residuen entsprechend 44 - 43 = 1, 0 sowie 43 - 43, 5 = - 0, 5). Laut der Methode der kleinsten Quadrate ist die am beste passende Ausgleichsgerade diejenige, die die Summe der quadrierten Abstände für alle Datenpunkte minimiert. Das ist die oben eingezeichnete Linie, die analog dem Beispiel zur linearen Regression berechnet wurde.
Zusammenfassung Das Grundprinzip der Methode der kleinsten Quadrate wurde zu Beginn des 19. Jahrhunderts von C. F. Gauß [83] im Zusammenhang mit der Berechnung von Planetenbahnen formuliert. Es handelt sich um einen Spezialfall der im letzten Kapitel behandelten Problemstellung, der wegen seiner großen praktischen Bedeutung in diesem Kapitel getrennt behandelt werden soll. Preview Unable to display preview. Download preview PDF. Author information Author notes Markos Papageorgiou Present address: Dept. Production Engineering, and Management, Technical University of Crete, University Campus, 731 00, Chania, Griechenland Affiliations Lehrstuhl für Steuerungs- und Regelungstechnik, Technische Universität München, Theresienstr. 90, 80290, München, Deutschland Marion Leibold Lehrstuhl für Steuerungs- und Regelungstechnik, Technische Universität München, Theresienstr. 90, 80290, München, Deutschland Martin Buss Corresponding author Correspondence to Markos Papageorgiou. Copyright information © 2012 Springer-Verlag Berlin Heidelberg About this chapter Cite this chapter Papageorgiou, M., Leibold, M., Buss, M. (2012).
Wenn Anna z. B. 180 cm groß ist, erhält sie laut der Vorhersage ein Einkommen von 2. 350 Euro netto. = 13 ⋅ 180 + 10 = 2. 350 Die Vorhersage ist allerdings nur eine Schätzung der Realität. Diese Schätzung basiert auf den Daten, mit denen du die Gleichung erstellt hast. Diese Schätzung wird also umso genauer, je mehr Daten aufgenommen werden. Auch durch die Aufnahme weiterer Prädiktoren kann die Vorhersage präziser werden. Du könntest neben der Körpergröße zum Beispiel die Intelligenz der Leute erfassen, um das Einkommen genauer vorherzusagen. Wenn du mehrere Prädiktoren nutzt, verwendest du das Regressionsmodell der multiplen Regression. Die Schätzungen des Regressionsmodells in der Statistik weichen manchmal mehr und manchmal weniger stark von der Realität ab. Schau dir dafür einmal folgende zwei Streudiagramme an: In beiden Streudiagrammen wird das Einkommen vorhergesagt. Das linke Regressionsmodell hat als Prädiktor Intelligenz. Das rechte Modell hat als Prädiktor die Körpergröße. Beide haben eine Regressionsgerade, die den Vorhersagewerten möglichst nah ist.
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