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Genauer gesagt zeigen wir, dass die Menge der zählbarsten Ordnungszahlen auch eine Kardinalität hat, die streng größer ist als die von N (Ergebnis aufgrund von Cantor). Das Kontinuum Hypothese ist dann, dass Cardinal ist, dass alle Teile N. Historisch Cantor beweist dieses Ergebnis 1891 für die Menge der charakteristischen Funktionen von N (Menge der natürlichen Zahlen) und dann für die Menge der charakteristischen Funktionen des Intervalls der reellen Zahlen zwischen 0 und 1. Er behauptet jedoch, dass sich das Ergebnis auf eine beliebige verallgemeinert gesetzt, was seine Methode eindeutig erlaubt. Zermelo gibt dieses Ergebnis an (und demonstriert es), das er in seinem Artikel von 1908 als Cantors Satz ( (de) Satz von Cantor) bezeichnet, der als erster eine Axiomatisierung der Mengenlehre vorstellte. Anmerkungen und Referenzen ↑ (von) Georg Cantor, " Über Eine elementare Frage der Mannigfaltigskeitslehre ", Jahresber. der DMV, vol. 1, 1891, p. 75-78 ( online lesen), reproduziert in Georg Cantor, Gesammelte Abhandlungen mathematischen und philosophischen Inhalte, herausgegeben von E. Zermelo, 1932.
Neu!! : Satz von Cantor und Georg Cantor: Der Jahrhundertmathematiker und die Entdeckung des Unendlichen · Mehr sehen » Große Kardinalzahl In der Mengenlehre wird eine Kardinalzahl als große Kardinalzahl bezeichnet, wenn ihre Existenz erwiesenermaßen nicht mit den üblichen Axiomen der Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre (ZFC) bewiesen werden kann. Neu!! : Satz von Cantor und Große Kardinalzahl · Mehr sehen » Kardinalzahl (Mathematik) Kardinalzahlen (lat. cardo "Türangel", "Dreh- und Angelpunkt") sind in der Mathematik eine Verallgemeinerung der natürlichen Zahlen zur Beschreibung der Mächtigkeit, auch Kardinalität, von Mengen. Neu!! : Satz von Cantor und Kardinalzahl (Mathematik) · Mehr sehen » Liste mathematischer Sätze Wichtige mathematische Sätze tragen in der Regel einen markanten Namen, unter dem sie oft auch international bekannt sind. Neu!! : Satz von Cantor und Liste mathematischer Sätze · Mehr sehen » Mächtigkeit (Mathematik) In der Mathematik verwendet man den aus der Mengenlehre von Georg Cantor stammenden Begriff der Mächtigkeit oder Kardinalität, um den für endliche Mengen verwendeten Begriff der "Anzahl der Elemente einer Menge" auf unendliche Mengen zu verallgemeinern.
23. 08. 2011, 12:32 Lokod Auf diesen Beitrag antworten » Satz von Cantor (Potenzmenge) Meine Frage: Für alle X, |X| < |P(X)|. Es wird dabei mit der Menge Y argumentiert, die alle Elemente aus X enthält, die nicht in f(x) liegen. Danach wird daraus, dass diese Menge nicht im Bild von f liegt, ein Widerspruch erzeugt. Wieso muss Y notwendig eine Teilmenge von P(X) sein? Bzw. wie ist die Existenz von Y gerechtfertigt? Meine Ideen: Eigentlich komm ich mit den ganzen Beweisen in der Mengenlehre ganz gut zu Recht, aber der sagt mir nicht sehr viel. 23. 2011, 14:44 Grouser Mit deiner "Erklärung" des Beweises kann ich nichts anfangen. Wir wissen nicht von welcher Abbildung du redest und somit auch nicht wie Y aussieht. Wo der Widerspruch gebildet wird, erwähnst du auch nicht. Wenn wir dir einen Beweis erklären sollen, wirst du uns den Beweis zur Verfügung stellen müssen.
Für jedes aus setze dann: Da im Falle, dass nicht in ist, liegen muss, gibt es ein eindeutig bestimmtes Element ist eine wohldefinierte nach. Man kann nun zeigen, dass diese Funktion die gewünschte Bijektion ist. Beachte, dass diese Definition von nicht konstruktiv ist, d. h., es gibt kein Verfahren, um für beliebige Mengen, und Injektionen, in endlich vielen Schritten zu entscheiden, ob ein liegt oder nicht. Für spezielle Mengen und Abbildungen kann das natürlich möglich sein. Ein kurzer und leicht verständlicher Beweis findet sich auch in dem Göschen-Bändchen Mengenlehre Erich Kamkes. Veranschaulichung Veranschaulichen kann man sich die Definition von anhand der nebenstehenden Darstellung. Dargestellt sind Teile der (disjunkten) Mengen sowie die Abbildungen und. Betrachtet man vereinigt als Graphen, dann zerfällt der Graph in verschiedene Zusammenhangskomponenten. Diese lassen sich in vier Typen einteilen: beidseitig unendliche Pfade; endliche Zyklen; unendliche Pfade, die in beginnen; beginnen (von jedem Typ ist hier einer vertreten, da der Pfad durch das Element beidseitig unendlich sein soll).
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