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Kein Hypothesentest bietet 100%ige Sicherheit. Da der Test auf Wahrscheinlichkeiten basiert, gibt es immer die Möglichkeit, eine falsche Schlussfolgerung zu ziehen. Bei einem Hypothesentest können zwei Arten von Fehlern auftreten: Fehler 1. Art und Fehler 2. Art. Die Risiken dieser beiden Arten von Fehlern sind umgekehrt proportional zueinander und werden durch das Signifikanzniveau und der Trennschärfe des Tests bestimmt. Daher sollten Sie ermitteln, welcher Fehler für die jeweilige Situation schwerwiegendere Folgen hat, ehe Sie die zugehörigen Risiken definieren. Fehler 1. Art Wenn die Nullhypothese wahr ist und Sie diese verwerfen, stellt dies einen Fehler 1. Art dar. Die Wahrscheinlichkeit eines Fehlers 1. Art entspricht α, dem Signifikanzniveau, das Sie für den Hypothesentest festlegen. Ein α von 0, 05 gibt an, dass Sie beim Zurückweisen der Nullhypothese eine 5%ige Wahrscheinlichkeit akzeptieren, dass Sie sich falsch entscheiden. Um dieses Risiko zu reduzieren, müssen Sie einen kleineren Wert für α angeben.
Die Bestimmung der Wahrscheinlichkeit für einen Fehler 2. Art gehört zum eher anspruchsvollen Themenbereich rund um Nullhypothesen. Sie gehört zusammen mit der Bestimmung eines Fehlers 1. Art hier zu den einfacheren Aufgabentypen. Sie laufen auf das Nachschlagen einer kumulierten Wahrscheinlichkeit bzw. deren Bestimmung mit einem graphikfähigen Taschenrechner hinaus. Aufgabe zum Fehler 2. Art Um die Wirksamkeit einer Wahlkampagne zu beurteilen, gibt eine Partei eine neue Umfrage in Auftrag, aus der hervorgehen soll, ob der Anteil $p$ ihrer Unterstützer in der Gemeinde seither über dem vorherigen Umfragewert von $30\, \%$ gestiegen ist oder nicht. Als Nullhypothese wird $p>0{, }3$ genommen und sie wird als bestätigt angesehen, wenn unter den 100 Befragten mindestens 31 die genannte Partei unterstützen. Bestimme die Wahrscheinlichkeit eines Fehlers 2. Art, wenn in Wirklichkeit $p=0{, }2$ gilt. Hintergrundwissen und Lösungsansatz Sowohl beim Fehler 1. als auch beim Fehler 2. Art liegt eine Binomialverteilung vor, deren Parameter $p$ mit einer Stichprobe untersucht wird.
Art: Wir kommen zu dem Schluss, dass der Kandidat immer noch eine Zustimmung von mindestens 30% aufweist (somit Beibehaltung der), obwohl die Zustimmung für ihn gesunken ist. Fehler 1. Art berechnen im Video zur Stelle im Video springen (03:37) Weder der Fehler 1. Art noch der Fehler 2. Art lassen sich auf direktem Weg berechnen. Ihre Wahrscheinlichkeiten sind essenziell abhängig von der Lage und Größe der Annahme- und Ablehnungsbereiche für die jeweiligen Hypothesen. Doch welchem der beiden Fehler sollte mehr Beachtung geschenkt werden? Meist wird es als wichtiger angesehen, den Fehler 1. Art zu kontrollieren. Das ist über die Festlegung des Signifikanzniveaus auch im Bereich des Möglichen. Wenn also ein Hypothesentest durchgeführt wird, kannst du als Forscher beispielsweise insofern Kontrolle ausüben, als dass mit einer Wahrscheinlichkeit von nur annähernd 5% die Nullhypothese fälschlicherweise abgelehnt und somit ein Fehler 1. Art begangen werden soll. Dabei muss dir jedoch auch die Kehrseite dieser Entscheidung bewusst sein: eine Kontrolle des Fehler 1.
Beim Hypothesentesten tritt ein Fehler 2. Art (auch Typ II Fehler) auf, wenn die Nullhypothese falsch ist, wir sie aber dennoch annehmen. Die Wahrscheinlichkeit, einen Fehler 2. Art zu begehen ist β und abhängig von der statistischen Power des verwendeten Tests. Im Gegensatz zum Fehler 1. Art, ist der Fehler 2. Art damit wesentlich schwieriger zu berechnen – in vielen Fällen auch gar nicht. Man kann die Wahrscheinlichkeit, einen Fehler 2. Art zu begehen senken, indem man sicherstellt, dass der verwendete Test genügend statistische Power hat, um eventuelle Gruppenunterschiede festzustellen. Eine Möglichkeit hierfür wäre beispielsweise, sicherzustellen, dass die Stichprobengröße ausreichend groß ist. Der Fehler 2. Art ist einer von zwei möglichen Fehler die man beim Hypothesentesten begehen kann. Der zweite Fehler ist der Fehler 1. Art, der begangen wird, wenn wir die Nullhypothese zurückweisen, auch wenn sie eigentlich wahr ist. H 0 annehmen H 0 zurückweisen H 0 ist wahr Korrekte Entscheidung (Wahrscheinlichkeit: 1 − α) Falsche Entscheidung (Wahrscheinlichkeit: α) H 0 ist falsch (Wahrscheinlichkeit: β) (Wahrscheinlichkeit: 1 − β) Diesen Rechner zitieren Hemmerich, W. (2016).
Wichtige Inhalte in diesem Video Dieser Beitrag behandelt den Fehler 1. Art und damit Situationen, in denen die Nullhypothese als Teil des Hypothesentests fälschlicherweise verworfen wird. Im Folgenden liefern wir dir nicht nur ein anschauliches Beispiel für eine solche Situation, sondern stellen dir im Zuge dessen auch den Fehler 2. Art als Gegenstück vor. In unserem Video werden dir der Fehler 1. und 2. Art auch visuell anschaulich erklärt! Fehler 1. Art einfach erklärt im Video zur Stelle im Video springen (00:19) Beim Treffen von Entscheidungen können Menschen nicht nur in ganz alltäglichen Situationen Fehler unterlaufen. Auch in der Statistik und im Zusammenhang mit dem Durchführen von Tests können schlussendlich Fehler auftreten, ganz besonders wenn man sich im Zuge des Hypothesentests nach langen Testverfahren endgültig für die Nullhypothese oder eben die Alternativhypothese entscheiden soll. Die Art dieser Fehler kann etwa aus mehreren Faktoren resultieren: die Stichprobe hat die Grundgesamtheit nicht repräsentativ genug abgebildet oder es wurden vorschnelle Schlüsse bezüglich der Hypothesenbildung getroffen.
Die Überzeugung lautet dann also: Gegeben ist: (Also: Rechtsseitiger Hypothesentest mit. ) Gesucht ist: Mit einer Wahrscheinlichkeit von knapp wird mit dieser Entscheidungsregel also ein Fehler erster Art begangen. Aufgabe 2 Peter besitzt zwei Würfel: [:] Fairer Würfel: Jede Zahl wird mit einer Wahrscheinlichkeit von geworfen. [:] Gezinkter Würfel: Die Zahl 6 wird mit einer Wahrscheinlichkeit von geworfen. Alle anderen Zahlen mit einer Wahrscheinlichkeit von. Peter ist sich fast sicher, dass der rote Würfel, den er gerade in der Hand hat, der faire Würfel ist. Doch um sicher zu gehen möchte er seine Hypothese testen. Hierzu überlegt er sich folgende Regel: Er möchte zehnmal würfeln und sich die Anzahl der auftretenden Sechsen notieren. Wird dreimal oder weniger eine Sechs gewürfelt, dann hält er an seiner Hypothese fest. Ansonsten geht er davon aus, dass er den Würfel in der Hand hält. Bestimme die Fehlerwahrscheinlichkeit erster und zweiter Art bei Peters Vorgehen. Lösung zu Aufgabe 2 Peters Nullhypothese lautet: [:] Der rote Würfel ist der faire Würfel.