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Man entscheidet sich dann für den Würfel, bei dem diese sogenannte Rückschlusswahrscheinlichkeit am größten ist. Geschlossen wird also aus einem stattgefundenen Ereignis auf die Wahrscheinlichkeit seiner "Gründe", seiner "Ursachen". Die Rückschlusswahrscheinlichkeit ist dabei eine spezielle bedingte Wahrscheinlichkeit. Die schrittweise Analyse der Zahlenfolge bedeutet, dass man mit jedem Würfelergebnis neue Informationen erhält, die zu einer neuen Bewertung der Chancen führen, um den tatsächlich benutzten Würfel herauszufinden. Mit dieser Problematik beschäftigte sich vor fast 250 Jahren der anglikanische Methodisten-Geistliche Reverend THOMAS BAYES (1702 bis 1761). Die dazu von ihm verfasste Abhandlung wurde allerdings erst nach seinem Tode im Jahr 1763 veröffentlicht. Bekannt wurde das auf den Rückschlusswahrscheinlichkeiten beruhende Entscheidungsprinzip nach der Neuformulierung durch den französischen Mathematiker PIERRE SIMON DE LAPLACE (1749 bis 1829). Satz von BAYES: Bilden die Ereignisse B 1, B 2,..., B n eine Zerlegung von Ω und ist A ein beliebiges Ereignis mit A ⊆ Ω u n d P ( A) > 0, so gilt für jedes i ∈ { 1; 2;... ; n}: P A ( B i) = P ( B i) ⋅ P B i ( A) P ( B 1) ⋅ P B 1 ( A) +... + P ( B n) ⋅ P B n ( A) Beweis: Die Ereignisse B 1, B 2,..., B n sind eine Zerlegung von Ω genau dann, wenn es paarweise unvereinbare Ereignisse mit positiver Wahrscheinlichkeit und B 1 ∪ B 2 ∪... ∪ B n = Ω sind.
Pr(positiver Test|Krebs) * Pr(Krebs) Pr(Krebs|positiver Test) = ——————————————————————————————— Pr(positiver Test|Krebs) * Pr(Krebs) + Pr(positiver Test|kein Krebs) * Pr(kein Krebs) Oder aber Pr(Krebs|positiver Test) = 80% * 1% / ((80%*1%) + (9. 6% * 99%)). Durch den Einbezug zusätzlicher Informationen, nämlich der bekannten Verteilung von Brustkrebs in der Bevölkerung, ist es möglich geworden, ein Testergebnis sehr viel präziser interpretieren zu können. Dies beschreibt den wesentlichen Vorteil des Einbezugs von Prior Informationen. In den Prior Informationen versammeln sich alle verfügbaren Informationen bezüglich der interessierenden Parameter. Im Unterschied zum eingangs genannten frequentistischen Ansatz zeigt sich also, dass bedingt auf die Information positiver Test und die dazu verfügbaren Informationen über die Gesamtverteilung von Krebs innerhalb der Bevölkerung, ein aussagekräftigeres Ergebnis errechnet werden kann, als die Informationen nur aus den vorliegenden Daten (durchgeführter Krebstest) zu ziehen.
Mit Hilfe der Ergebnisse sollen die relativen Häufigkeiten berechnet werden, dass man gewinnt oder verliert wenn man die Karte wechselt. Zusammenfassung der Ergebnisse aller Gruppen (5 min) Um noch aussagekräftigere Ergebnisse zu bekommen, werden die Ergebnisse aller Gruppen zusammengefasst. Mit Hilfe dieser Ergebnisse sollen die SchülerInnen erneut die relativen Häufigkeiten berechnen. Die Lösung des Ziegenproblems - Teil 1 (15 min) Die SchülerInnen spielen erneut mit offenen Karten das Spiel durch und sollen somit auf die Lösung des Ziegenproblems kommen. Wenn die SchülerInnen Fall für Fall durchgehen, sollte es ihnen meiner Meinung nach gut gelingen, das Ziegenproblem zu verstehen und auf die Lösung zu kommen. Die Lösung des Ziegenproblems - Teil 2 (10 min) Die SchülerInnen füllen mit ihren gewonnenen Erfahrungen aus Teil 1 die Tabelle mit allen neun Möglichkeiten aus und erhalten somit die Gewinnwahrscheinlichkeit beim Wechseln der Tür. Die Lösung des Ziegenproblems - Teil 3 + Zusatzaufgabe (30 min) Eine weitere Möglichkeit die Lösung des Ziegenproblems zu ermitteln, ist es, wenn man sich ein Baumdiagramm zeichnet.
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