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Als Gleichung ausgedrückt: log b (m * n) = log b (m) + log b (n) Außerdem muss Folgendes gelten: m > 0 n > 0 Isoliere den Logarithmus. Nutze Umkehroperationen, um alle Teile der Gleichung, die nicht Teil des Logarithmus sind, auf die andere Seite des Gleichheitszeichens zu bringen. Beispiel: log 4 (x + 6) = 2 - log 4 (x) log 4 (x + 6) + log 4 (x) = 2 - log 4 (x) + log 4 (x) log 4 (x + 6) + log 4 (x) = 2 Wende die Produktregel an. X 2 umschreiben 2020. Wenn in der Gleichung zwei Logarithmen addiert werden, kannst du die Produktregel anwenden, um diese in einem Logarithmus zusammenzufassen. Beispiel: log 4 (x + 6) + log 4 (x) = 2 log 4 [(x + 6) * x] = 2 log 4 (x2 + 6x) = 2 Schreibe die Gleichung als Exponentialgleichung. Denke daran, dass ein Logarithmus nur eine andere Schreibweise für eine Exponentialgleichung ist. Nutze die Definition des Logarithmus, um die Gleichung in eine lösbare Form umzuschreiben. Beispiel: log 4 (x 2 + 6x) = 2 Wenn du diese Gleichung mit der Definition eines Logarithmus [y = log b (x)] vergleichst, kannst du zu der Schlussfolgerung kommen, dass: y = 2; b = 4; x = x 2 + 6x 4 2 = x 2 + 6x Beispiel: 4 2 = x 2 + 6x 4 * 4 = x 2 + 6x 16 = x 2 + 6x 16 - 16 = x 2 + 6x - 16 0 = x 2 + 6x - 16 0 = (x - 2) * (x + 8) x = 2; x = -8 6 Notiere dein Ergebnis.
In diesem Kapitel schauen wir uns an, wie man eine Betragsgleichungen löst. Definition Betragsgleichungen rechnerisch lösen Betragsgleichungen lassen sich durch Fallunterscheidung oder durch Quadrieren lösen. Das Quadrieren hat den Nachteil, dass sich dadurch meist die Gleichung verkompliziert und somit der Lösungsweg länger wird. Die Standardmethode ist deshalb die Fallunterscheidung. Fallunterscheidung zu 1) Aus der Definition des Betrags $$ \begin{equation*} |a| = \begin{cases} a &\text{für} a \geq 0 \\[5px] -a &\text{für} a < 0 \end{cases} \end{equation*} $$ ergeben sich folgende zwei Fälle: Wenn der Term im Betrag größer oder gleich Null ist ( $a \geq 0$), können wir den Term einfach ohne Betragsstriche schreiben ( $|a| = a$). Wenn der Term im Betrag kleiner als Null ist $a < 0$, müssen wir die Vorzeichen des Terms umdrehen, um die Betragsstriche weglassen zu können ( $|a| = -a$). zu 2) Die Lösungsmengen geben wir als Intervalle an. 2/x^3 umschreiben? (Schule, Mathe, Mathematik). zu 3) Die Lösungmenge der Gleichung ist die Vereinigungsmenge der einzelnen Lösungsmengen.
An diesem Punkt solltest du deine Gleichung gelöst haben. Schreibe das Ergebnis in das entsprechende Feld für die Antwort. Beispiel: x = 2 Beachte, dass niemals eine negative Lösung für deinen Logarithmus herauskommen kann, also kannst du dein zweites Ergebnis (x = -8) als Lösung ausschließen. X 2 umschreiben 2. Kenne die Quotientenregel. Entsprechend der zweiten Eigenschaft von Logarithmen, auch bekannt als "Quotientenregel", kann der Logarithmus eines Quotienten als Subtraktion des Logarithmus des Nenners vom Logarithmus des Zählers umgeschrieben werden. Als Gleichung ausgedrückt: log b (m / n) = log b (m) - log b (n) Isoliere den Logarithmus. Bevor du den Logarithmus lösen kannst, musst du alle Logarithmen mit Hilfe von Umkehroperationen auf eine Seite der Gleichung bringen und den Rest der Gleichung auf die andere Seite. Beispiel: log 3 (x + 6) = 2 + log 3 (x - 2) log 3 (x + 6) - log 3 (x - 2) = 2 + log 3 (x - 2) - log 3 (x - 2) log 3 (x + 6) - log 3 (x - 2) = 2 Wende die Quotientenregel an. Wenn sich zwei Logarithmen in der Gleichung befinden und einer vom anderen subtrahiert wird, kannst und solltest du die Quotientenregel anwenden, um die beiden Logarithmen in einem Logarithmus zusammenzufassen.
Fall) als auch $x = 2$ (Lösung 1. Fall) erfüllen: $$ \mathbb{L}_1 = \{2\} $$ Fall 2: $x < -1$ Für $x < -1$ können wir Gleichung $|x + 1| = 3$ umschreiben zu $$ -(x + 1) = 3 $$ Jetzt müssen wir noch die Gleichung nach $x$ auflösen: $$ -x - 1 = 3 $$ $$ -x - 1 {\color{gray}\:+\:1} = 3 {\color{gray}\:+\:1} $$ $$ -x = 4 $$ $$ -x {\color{gray}\:\cdot\:(-1)} = 4 {\color{gray}\:\cdot\:(-1)} $$ $$ x = -4 $$ Die Lösungsmenge $\mathbb{L}_2$ muss sowohl die Bedingung $x < -1$ (2. Fall) als auch $x = -4$ (Lösung 2. Wie kann man 2/x^3 umschreiben? Ich komm wirklich nicht drauf? (Mathematik, potenz). Fall) erfüllen: $$ \mathbb{L}_2 = \{-4\} $$ Lösungsmenge der Betragsgleichung bestimmen $$ \mathbb{L} = \mathbb{L}_1 \cup \mathbb{L}_2 = \{2\} \cup \{-4\} = \{-4; 2\} $$ Quadrieren zu 1) Durch Quadrieren verschwindet der Betrag, denn es gilt: $|a|^2 = a^2$. Beispiel 2 $$ |x + 1| = 3 $$ Betragsgleichung quadrieren $$ \begin{align*} |x + 1| &= 3 &&{\color{gray}| \phantom{x}^2} \\[5px] |x + 1|^2 &= 3^2 \\[5px] (x+1)^2 &= 3^2 \\[5px] x^2 + 2x + 1 &= 9 \end{align*} $$ Gleichung lösen Bei $x^2 + 2x + 1 = 9$ handelt es sich um eine quadratische Gleichung.
In diesem Fall ist es einfacher, die Gleichung zu quadrieren. Betragsgleichung quadrieren $$ \begin{align*} |x-1| &= |x-3| &&{\color{gray}| \phantom{x}^2} \\[5px] |x-1|^2 &= |x-3|^2 \\[5px] x^2 - 2x + 1 &= x^2 - 6x + 9 \end{align*} $$ Gleichung lösen Wir bringen die Gleichung zunächst in ihre allgemeine Form $$ \begin{align*} x^2 - 2x + 1 &= x^2 - 6x + 9 &&{\color{gray}|\, -x^2+6x-9} \\[5px] 4x - 8 &= 0 \end{align*} $$ Bei $4x - 8 = 0$ handelt es sich um eine lineare Gleichung, die wir durch Äquivalenzumformungen lösen. $$ \begin{align*} 4x - 8 &= 0 &&{\color{gray}|\, +8} \\[5px] 4x &= 8 &&{\color{gray}|\, :4} \\[5px] x &= 2 \end{align*} $$ $$ \Rightarrow \mathbb{L} = \{2\} $$ Online-Rechner Betragsgleichungen online berechnen Zurück Vorheriges Kapitel Weiter Nächstes Kapitel
Beispiel 1 $$ |x + 1| = 3 $$ Betrag durch Fallunterscheidung auflösen Aus der Definition des Betrags ergibt sich $$ \begin{equation*} |x + 1| = \begin{cases} x + 1 &\text{für} {\color{green}x + 1 \geq 0} \\[5px] -(x + 1) &\text{für} {\color{red}x + 1 < 0} \end{cases} \end{equation*} $$ Im Folgenden lösen wir die beiden Bedingungen nach $x$ auf, um zu berechnen, für welches $x$ der Term im Betrag größer oder gleich Null (1. Fall) bzw. Wie kann ich das umformen? 4/x^2 | Mathelounge. kleiner Null (2. Fall) ist. 1. Fall: $x + 1 \geq 0$ $$ \begin{align*} x + 1 &\geq 0 &&{\color{gray}|\, -1} \\[5px] x &\geq -1 \end{align*} $$ 2.
Umschreiben mit e^x und ln(x), Exponential-/Logarithmusschreibweisen | Mathe by Daniel Jung - YouTube