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Durch die impliziten Formen wird allerdings in höherdimensionalen Räumen keine Ebene mehr beschrieben, sondern eine Hyperebene der Dimension. Jede Ebene kann jedoch als Schnitt von Hyperebenen mit linear unabhängigen Normalenvektoren dargestellt werden und muss demnach ebenso viele Koordinatengleichungen gleichzeitig erfüllen. Ebene und ebene 2. Schnittpunkte im dreidimensionalen Raum [ Bearbeiten | Quelltext bearbeiten] Schnittpunkt einer Geraden mit einer Ebene [ Bearbeiten | Quelltext bearbeiten] Schnittpunkt: Gerade – Ebene Eine Gerade wird im Raum in der Regel durch eine Parameterdarstellung und eine Ebene durch eine Gleichung beschrieben. Durch Einsetzen der Parameterdarstellung der Gerade in die Ebenengleichung ergibt sich die lineare Gleichung für den Parameter des Schnittpunktes. Falls die lineare Gleichung keine Lösung besitzt, ist die Gerade parallel zur Ebene. Falls die Gleichung für alle erfüllt ist, ist die Gerade in der Ebene enthalten. [1] Schnittpunkt dreier Ebenen [ Bearbeiten | Quelltext bearbeiten] Ist eine Gerade als Schnitt zweier nicht paralleler Ebenen gegeben und soll mit einer dritten Ebene geschnitten werden, muss der gemeinsame Punkt der 3 Ebenen bestimmt werden.
Beispiel 3: Gegeben sind eine Kugel k mit M ( 5; 2; 1) u n d r = 7 sowie eine Ebene ε durch ihre Gleichung 2 x + 2 y + z = 6. Der Abstand d des Kugelmittelpunktes M von der Ebene ε beträgt: d = | [ ( 5 2 1) − ( 1 1 2)] ⋅ ( 2 2 1) ⋅ 1 3 | = 3 Damit ist d < r, die Ebene ε schneidet also die Kugel k. Die Koordinaten des Mittelpunktes M s des Schnittkreises und sein Radius r s werden ermittelt durch Aufstellen der Gleichung für die Geraden durch M in Richtung des Normalenvektors n ε → der Ebene ε und Einsetzen in die Ebenengleichung: x → = ( 5 2 1) + t ⋅ ( 2 2 1); t ∈ ℝ 2 ⋅ ( 5 + 2 t) + 2 ⋅ ( 2 + 2 t) + ( 1 + t) = 6 9 t = − 9 t = − 1 Man erhält schließlich: r s = r 2 − d 2 = 49 − 9 = 40 = 2 ⋅ 10 M s ( 3; 0; 0)
Schritt: Nun werden alle drei Gleichungen vereinfacht! 3. Schritt: Anschließend muss das lineare Gleichungssystem mit vier Unbekannten gelöst werden. Nachdem alle Unbekannten auf eine Seite gebracht wurden, wird die erste und zweite Zeile getauscht. Anschließend multiplizieren wir die erste Zeile mit -1. Wir addieren das 1, 5-fache der zweiten Zeile zu der dritten Zeile. Danach bringen wir die Koeffizienten der vorne wegstehenden Variablen auf 1. Aus der letzten Gleichung kannst du erkennen, dass s frei wählbar ist. Dann kannst du alle Gleichungen in Abhängigkeit von s darstellen. Schritt: Jetzt kannst du so vorgehen wie im 1. Beispiel. Die Variable wird in die Ebenengleichung eingesetzt, durch welche die anderen Variablen ersetzt wurden – in unserem Fall ist das s. Die aufgestellte Gerade g ist die Schnittgerade der Ebenen E und F. Abstand Ebene von Ebene (Vektorrechnung) - rither.de. Die türkise Ebene entspricht der Ebene F, die orangene Ebene entspricht der Ebene E und die Gerade g ist dunkelblau eingezeichnet. Abbildung 4: Grafik der Schnittgeraden von den beiden Ebenen Schnittgerade zweier Ebenen - Das Wichtigste auf einen Blick Zwei Ebenen im dreidimensionalem Raum können entweder identisch, parallel zueinander sein oder sich schneiden.