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[5] Um einen Logarithmus auf eine andere Basis umzurechnen, kann folgende Formel angewendet werden: Die obige Formel ermöglicht es beispielsweise, einen dekadischen Logarithmus in einen binären Logarithmus umzurechnen, indem man diesen durch teilt. Summen und Differenzen von Logarithmen Logarithmen mit gleicher Basis lassen sich addieren oder subtrahieren. Das Ergebnis einer Logarithmus-Addition ist ein Logarithmus mit gleicher Basis, dessen Argument gleich dem Produkt der Argumente beider zu addierenden Logarithmen ist: Entsprechend ist das Ergebnis einer Logarithmus-Subtraktion ein Logarithmus mit gleicher Basis, dessen Argument gleich dem Quotienten der Argumente beider zu subtrahierender Logarithmen ist: Wird ein Logarithmus mit einem konstanten Faktor multipliziert, so entspricht dies einer -Fachen Addition des Logarithmus mit sich selbst. Potenz und wurzelgesetze übungen. In diesem Fall entspricht das Ergebnis somit einem Logarithmus mit gleicher Basis, dessen Argument -fach mit sich selbst multipliziert werden muss: Auf Logarithmusgleichungen wird im Rahmen der elementaren Algebra, auf Logarithmusfunktionen im Analysis-Kapitel Anmerkungen: [1] Auch allgemeine Potenzen (mit beliebigem Exponenten lassen sich auf diese Art addieren bzw. subtrahieren.
Das Potenzieren entspricht, wie bereits im Abschnitt Rechnen mit reellen Zahlen erwähnt, einem mehrfachen Multiplizieren; das Wurzelziehen hingegen der Umkehrung des Potenzierens. Auf einige der dafür relevanten Rechenregeln wird im folgenden Abschnitt näher eingegangen, ebenso auf das Logarithmieren als zweite Möglichkeit, einen Potenz-Term nach der gesuchten Variablen aufzulösen. Rechenregeln für Potenzen und Wurzeln ¶ Unterscheiden sich zwei Potenzen in ihrer Basis und/oder in ihrem Exponenten, so kann eine Addition oder Subtraktion beider Potenzen nicht weiter vereinfacht werden. Multiplikationen und Divisionen von Potenzen mit ungleicher Basis und/oder ungleichem Exponenten lassen sich hingegen mit Hilfe der folgenden Rechenregeln umformen. Rechenregeln für Potenzen mit gleicher Basis Potenzen können miteinander multipliziert werden, wenn sie eine gemeinsame Basis besitzen. Potenz- und Wurzelgesetze - Lyrelda.de - YouTube. In diesem Fall werden die Exponenten addiert: Nach dem gleichen Prinzip können Potenzen mit gleicher Basis dividiert werden, indem man die Differenz ihrer Exponenten bildet: Diese Gleichung erlaubt es, eine Potenz mit negativem Exponenten als Kehrwert einer Potenz mit positivem Exponenten aufzufassen.
625\) \((-3)^5\cdot(-3)^3=(-3)^{5+3}=(-3)^8=6561\) Potenzen mit gleicher Basis werden dividiert, indem man die Exponenten subtrahiert und die Basis beibehält: \(\displaystyle a^m\! :a^n = \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}\) für alle \(a \in \mathbb R, \ b \in \mathbb R\! \setminus\{0\}, \ n \in \mathbb N\) Beispiele: \(\dfrac{5^6}{5^8} = 5^{6-8} = 5^{-2} = \dfrac{1}{5^2} = \dfrac{1}{25}\) \(\dfrac{0, 2^7}{0, 2^4} = 0, 2^{7-4}=0, 2^3=0, 008\) Anmerkung: Für m = n erhält man hieraus a 0 = 1 für alle \(a \in \mathbb R\). Wurzelgesetze - Matheretter. Eine Potenz wird potenziert, indem man die Exponenten multipliziert und die Basis beibehält: \(\displaystyle \left(a^m\right)^n = a^{m\, \cdot\, n}\) für alle \(a \in \mathbb R, \ b \in \mathbb R\! \setminus\{0\}, \ n \in \mathbb N\) Beispiel: \((5^2)^3=5^{2\cdot3}=5^6=15625\)
Die Einschränkung ist dabei notwendig, da die Potenz nicht definiert ist. [2] Auf diese Weise lässt sich eine plausible Erklärung angeben, warum für alle ist. Es gilt beispielsweise für [3] Die Gleichung für Potenzen von Potenzen folgt aus der Gleichung für Potenz-Multiplikationen. Setzt man in Gleichung (2) für und gleiche Werte ein, d. h., so gilt: [4] Additionen und Subtraktionen von Potenzen mit ungleicher Basis lassen sich nicht weiter zusammenfassen. Wurzelgesetze - Potenz- und Wurzelrechnung einfach erklärt | LAKschool. [5] Für dekadische Logarithmen und natürliche Logarithmen besitzen Taschenrechner häufig entsprechende Funktionstasten.
Die Wurzelgesetze regeln, wie sich Wurzeln beim Multiplizieren, Dividieren, Potenzieren und Radizieren verhalten.! Merke Diese Wurzelgesetze gelten nicht beim Addieren und Subtrahieren. Multiplizieren von Wurzeln $\sqrt[n]{a}\cdot\sqrt[n]{b}=\sqrt[n]{a\cdot b}$ Dividieren von Wurzeln $\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}=\sqrt[n]{\frac{a}{b}}$ Potenzieren von Wurzeln $(\sqrt[n]{a})^m=\sqrt[n]{a^m}$ Radizieren von Wurzeln $\sqrt[m]{\sqrt[n]{a}}=\sqrt[m \cdot n]{a}$ Beispiele $\sqrt[3]{8}\cdot\sqrt[3]{27}=\sqrt[3]{8\cdot 27}$ $=\sqrt[3]{216}=6$ $\frac{\sqrt{8}}{\sqrt{32}}=\sqrt{\frac{8}{32}}$ $=\sqrt{\frac{1}{4}}=\frac{1}{2}$ $(\sqrt{2})^4=\sqrt{2^4}$ $=\sqrt{16}=4$ $\sqrt{\sqrt{16}} = \sqrt[2 \cdot 2]{16}$ $=\sqrt[4]{16}=2$
Diese Rechnung kannst du für alle möglichen Zahlen, also auch allgemein für Radikanden $$a$$ und $$b$$ und Exponenten $$n$$ durchführen. (Die Radikanden dürfen natürlich nicht negativ sein. ) Willst du n-te Wurzeln multiplizieren, multipliziere die Radikanden. Die Wurzel bleibt gleich. $$root n(a)*root n(b)=root n(a*b)$$ für jede natürliche Zahl $$n$$, $$a, $$ $$b ge0$$ Zur Erinnerung: 2. Potenzgesetz $$a^n*b^n=(a*b)^n$$ $$a^n/b^n=(a/b)^n$$ mit $$b! =0$$ $$root n(x)=x^(1/n)$$ Zur Kontrolle: $$sqrt(4)*sqrt(9)=2*3=6$$ $$sqrt(4*9)=sqrt(36)=6$$ kann mehr: interaktive Übungen und Tests individueller Klassenarbeitstrainer Lernmanager Und die Division? Wie mit Produkten kannst du dir auch die Regel zur Wurzel aus Quotienten überlegen. Beispiel 1: $$root 4 (16)/root 4 (81)=16^(1/4)/81^(1/4)=(16/81)^(1/4)=root 4 (16/81)$$ Beispiel 2: Andersum ist es manchmal praktisch zum Rechnen: $$root 4 (16/81)=root 4 (16)/root 4 (81)=2/3$$ Willst du n-te Wurzeln dividieren, dividiere die Radikanden. $$root n (a)/root n (b)=root n (a/b)$$ für jede natürliche Zahl $$n$$, $$a ge0$$ und $$b >0$$ Zur Erinnerung: 2.