Für h → 0 erhält man dann: lim h → 0 cos h − 1 h = − ( lim h → 0 sin h h ⋅ lim h → 0 sin h h) ⋅ lim h → 0 h cos h + 1 cos h − 1 h = = − ( 1 ⋅ 1) ⋅ lim h → 0 h lim h → 0 cosh + lim h → 0 1 = − 1 ⋅ 0 1 + 1 = 0 Setzt man die ermittelten Grenzwerte lim h → 0 sin h h = 1 u n d lim h → 0 cos h − 1 h = 0 in obige Gleichung (*) ein, so ergibt sich: Der Grenzwert des Differenzenquotienten von f ( x) = sin x an einer beliebigen Stelle x 0 existiert und es ist f ' ( x 0) = cos x 0. Also gilt für die Ableitung der Sinusfunktion: Die Sinusfunktion f ( x) = sin x ist im gesamten Definitionsbereich differenzierbar und besitzt die Ableitungsfunktion f ' ( x) = cos x. Beispiel: Es ist der Anstieg der Funktion f ( x) = 2 sin x + sin 2 x + sin 2 x an der Stelle x 0 = π 3 zu ermitteln. Sinus quadrat aufleiten. Wir erhalten: ( 2 ⋅ sin x) ' = 2 ⋅ cos x ( F a k t o r r e g e l) ( sin 2 x) ' = 2 ⋅ cos 2 x ( F a k t o r - u n d K e t t e n r e g e l) ( sin 2 x) ' = 2 ⋅ sin x ⋅ cos x ( P o t e n z - u n d K e t t e n r e g e l) Damit gilt: f ' ( x) = 2 ⋅ cos x + 2 ⋅ cos 2 x + 2 ⋅ sin x ⋅ cos x f ' ( π 3) = 2 ⋅ 1 2 − 2 ⋅ 1 2 + 2 ⋅ 1 2 3 ⋅ 1 2 = 1 2 3
Sinus Quadrat Ableiten 1
ich blick da grade nich durch...
03. 2009, 17:04
Das ist richtig. Ausklammern sollstest du aber noch mal wiederholen, wenn du das nicht kannst. ja doch war bisschen verwirrt, vielen dank
Der Graph der jeweiligen Funktion f ist blau, der der Ableitung g ist rot und jener der Stammfunktion h ist grün. abs() in den Termen steht für die Betragsfunktion ||, sqr für die Wurzel √, ln ist der natürliche Logarithmus.