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(Wahrscheinlichkeitsverteilung und Verteilungsfunktion) Das obere Histogramm zeigt die Wahrscheinlichkeit bei n Versuchen mit der Trefferwahrscheinlichkeit p genau k Treffer zu erzielen. Das untere Histogramm zeigt die Wahrscheinlichkeit bei n Versuchen mit der Trefferwahrscheinlichkeit p höchstens k Treffer zu erzielen.
Einführung Die Binomialverteilung ist eine der wichtigsten Verteilungsfunktionen und kommt daher schwerpunktmäßig in der Schule vor. Im Grundkurs ist es meist die einzige die ausführliche behandelt wird. Daher beschränke ich mich hier auch auf diese Funktion. Eng verbunden mit dem Begriff Binomialverteilung ist der Begriff der Bernoulli-Kette. Bernoulli-Kette Damit ein Zufallsexperiment durch eine Bernoulli-Kette modelliert werden kann, müssen zwei Eigenschaften gelten: Es interessiert nur ob ein Ergebnis eintrifft oder nicht, also Treffer/Gewinn oder Niete. Binomialverteilung (alle Werte bzw. einzelne Werte bestimmen) sowie kumulierte Binomialverteilung | Onlinekompendium zum TI Nspire CX CAS des IMBF. Die Wahrscheinlichkeit für das Eintreten eines Treffers bleibt im Laufe des Experiments gleich. Gerade die zweite Eigenschaft ist hier wichtig und wird dennoch immer wieder nur angenähert. Beispiel 1 Aus einer Sendung bestehend aus 200 Glühbirnen sollen 10 Glühbirnen genommen und untersucht werden, ob sie brennen (Treffer) oder nicht (Niete). Obwohl die Wahrscheinlichkeit für die erste Glühbirne 1/200, für die zweite 1/199, etc beträgt, kann man dennoch das Experiment als Bernoulli-Kette modellieren, da sich die Wahrscheinlichkeiten kaum voneinander unterscheiden.
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Was soll ich für P(X=K) im Taschenrechner für K angeben? für P(X<=K) muss man ja einfach nur K angeben. Vom Fragesteller als hilfreich ausgezeichnet Community-Experte Mathematik, Mathe Dein Rechner hat sicher noch eine andere Funktion mit der man P(X=K) ausrechnen kann. Hast Du nur P(X<=K) zur Verfügung bzw. GTR Taschenrechner Binomialverteilung mit Grafikrechner. kennst nur das, rechne einfach P(X<=K) minus P(X<=K-1), so bleibt die Wahrscheinlichkeit für P(X=K) übrig. Schule, Mathematik, Mathe Leider gibst du nicht das Modell an, mit dem ihr arbeitet, dann könnte man evtl. gezielter helfen. Bei meinem GTR (Casio) gibt es die Funktionen bpd und bcd. BCD berechnet die kumulative Wahrscheinlichkeit (X<=k), BPD die Wahrscheinlichkeit für X=k (Punktwahrscheinlichkeit)
Ab welcher Menge man eine Bernoulli-Kette zur Modellierung nehmen kann ist schwierig zu sagen und hängt auch von dem Gesamtexperiment ab. Als Faustregel für die Schule kann man folgendes sagen: Entweder steht bereits in der Aufgabestellung, dass die Bernoulli-Kette genommen werden soll oder es sind zu Anfang des Experiments mindestens 100 Dinge vorhanden. Wie wird nun konkret die Wahrscheinlichkeit für das Auftreten in einem solchem Fall berechnet? Ich konkretisiere das obige Beispiel dadurch, dass die Herstellerfirma der Glühbirnen angibt, dass nur 5 Prozent Ausschuss entsteht. Wie wahrscheinlich ist es nun, dass man genau 4 kaputte Glühbirnen bekommt, wenn man insgesamt 10 zieht? Anhand einen Baumdiagramms, das leider sehr unübersichtlich zu zeichnen wäre, kann man sich folgendes überlegen: Eine Möglichkeit wäre es, zunächst 4 mal eine kaputte Glühbirnen zu ziehen (P = 0, 05 4) und anschließend 6 ganze (P = 0, 95 6). Jetzt muss man noch berücksichtigen, dass es ja noch andere Reihenfolgen gibt in denen das gewünschte Ereignis auftritt: 4 aus 10 müssen kaputt sein.
Die Gesamtwahrscheinlichkeit beträgt somit: P(X=4) = (10 über 4) * 0, 05 4 * 0, 95 6 = 0, 00096. Die Wahrscheinlichkeit beträgt also ungefähr 0, 1 Prozent. Durch eine Verallgemeinerung dieser Überlegung kommt man zu folgender Formel: Die Wahrscheinlichkeit für das k-fache Aufreten des Ereignisses bei n Versuchen: p ist dabei die Aufretenswahrscheinlichkeit für das gewünschte Ergebnis, (1-p) für das Gegenereignis. Interessiert einen nicht eine "exaktes" Auftreten wie oben, sondern etwas wie "maximal 4 kaputte Glühbirnen", so muss man die gewünschten Wahrscheindlichkeiten für X=0, X=1, X=2, X=3 und X=4 aufsummieren, denn man muss 5 unterschiedliche Bäume betrachten. Im Beispiel berechnet man somit F(10, 0. 05, 4) = 99, 99%. Das bedeutet, dass es so gut wie ausgeschlossen ist (99, 99%), bis zu 4 kaputte Glühbirnen unter 10 gezogenen zu haben. Allein die Wahrscheinlichkeit maximal 1 (also 0 oder 1) Kaputte zu bekommen, ist mit ungefähr 60% unwahrscheinlich. Die Wahrscheinlichkeit für das maximal k-fache Aufreten des Ereignisses bei n Versuchen: Da die Bezeichnung variieren, habe ich alle Schreibweisen angegeben.
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