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Nun setze man z:= 1 - x / 2. Dann geht die Gleichung in e z = 1 + z über. Eine kleine Skizze zeigt: z = 0... Gruß ermanus michaL 22:13 Uhr, 28. 2020 Hallo, derartige Gleichungen sind auch im Allgemeinen nicht algebraisch lösbar. Diese ist aber speziell: 4 e − 0, 5 x = − 2 x e + 8 e ⇔ e 1 - 0, 5 x = 1 + ( 1 - 0, 5 x) bzw. (mit z = 1 - 0, 5 x): e z = 1 + z Mit Potenzreihe: 1 + z = 1 + z + z 2 2 ( 1 + z 3 + z 2 3 ⋅ 4 + … ⎵ =: R ( z)) Folgt also 0 = z 2 2 ⋅ R ( z). Immerhin folgt daraus: z = 0 ⇒ x = 2. Dass R ( z) ≠ 0 stets gilt, kann man damit begründen, dass der Graph der e-Funktion konvex ist und y = 1 + x gerade die Tangente zu diesem Graphen an der Stelle z = 0 ist. Alternativ kann man auch direkt e x ≥ 1 + x mit " = " gdw, wenn x = 0 bemühen. Allgemeine Exponentialfunktion. Noch alternativer kann man bei e z = 1 + z auch Richtung e z - 1 z - 0 = 1 abbiegen, was dem Differenzenquotienten der e-Funktion bei z = 0 entspricht. Aufgrund der Konvexität kann der Wert 1 nur an einer Stelle angenommen werden (wenn überhaupt).
In diesem Beispiel soll der Graph der Exponentialfunktion f(x) = b^{x} durch den Punkt P(4/16) verlaufen. Aus P(4/16) liest man x = 4 und y = 16 heraus. Dies setzt man in die Funktionsvorschrift ein und erhält: 16 = b^{4} und löst dann schrittweise nach b auf. 16 = b^{4} | \sqrt[4]{} x = \sqrt[4]{16} = 2 Die gesuchte Exponentialfunktion lautet also f(x) = 2^{x} Ähnlich kann man auch die Funktionsvorschrift bzgl. f(x) = a•b^{x} bestimmen. Im Beispiel soll der Graph der Exponentialfunktion f(x) = a•b^{x} durch die Punkte A(2/1) und B(3/5) verlaufen. Man setzt jeweils die Werte von x und y in die Funktionsvorschrift ein und erhält somit 2 Gleichungen. Schnittpunkt zweier Exponentialfunktionen | Mathelounge. 1 = a•b^{2} und 5 = a•b^{3} | Löse die erste Gleichung nach a auf, um sie in die zweite einzusetzen. a = \frac{1}{b^{2}} | Setze a in die zweite Gleichung ein 5 = \frac{1}{b^{2}}•b^{3} = b | Setze nun b = 5 in a = \frac{1}{b^{2}} ein a = \frac{1}{5^{2}} = \frac{1}{25} Die gesuchte Funktionsvorschrift lautet somit f(x) = \frac{1}{25} • 5^{x} Um Textaufgaben zu lösen, muss man wissen, dass a der "Startwert" und b der "Wachstumsfaktor" ist.
Da hier der Exponent eine Definitionslücke bei hat, ist auch Abbildung einer verketteten Exponentialfunktion Symmetrie Der Graph der normalen Exponentialfunktion weist keinerlei Symmetrien auf, er ist weder achsensymmetrisch noch punktsymmetrisch! Anders sieht die Sache wieder bei den komplizierteren Exponentialfunktionen aus. Im obigen Bild siehst du sofort, dass dieser Graph achsensymmetrisch zur y-Achse verläuft. In solchen Fällen musst du die Symmetrie explizit nachrechnen! Achsensymmetrie: Punktsymmetrie:. In obigem Beispiel ist achsensymmetrisch wegen. Monotonie im Video zum Video springen Die e-Funktion ist überall streng monoton steigend, das bedeutet für alle Werte ist immer auch. Für schwierigere Funktionen trifft dies aber nicht automatisch zu. So ist beispielsweise die Funktion nicht überall streng monoton steigend. Wie du ihre Maxima und Minima berechnest, erklären wir dir im Artikel zu den Ableitungen. Beispiel verkettete nicht-monotone Exponentialfunktion Grenzverhalten Für das Verhalten an den Rändern des Definitionsbereichs gilt: Damit ist die x-Achse eine waagrechte Asymptote von.
Dass dies bei z = 0 ist, lässt sich mithilfe der Ableitung bestätigen. Mfg Michael abakus 22:30 Uhr, 28. 2020 Wenn ich mir die grafische Darstellung ansehe habe ich den Verdacht, dass es dem Fragesteller gar nicht um Schnittpunkte, sondern um Berührpunkte geht. Das würde ganz neue Lösungsmöglichkeiten eröffnen. 22:51 Uhr, 28. 2020 Naja, der Schnittpunkt ist eben ein Berührpunkt. Aber woher hätte der Fragesteller das vorher wissen sollen? Sicher hätte eine Skizze es ihm nahegelegt. Aber ohne die Umformung e z = 1 + z hätte er dies nicht sicher begründen können. MichaL hat ja dargestellt, dass y = 1 + z die Tangente an y = e z in z = 0 ist aufgrund der linearen Approximation durch die Exponentialtreihe um den Entwicklungspunkt z 0 = 0. HAL9000 10:39 Uhr, 29. 2020 Man kann auch schnöde nach dem allseits bekannten Kurvendiskussionsrezept vorgehen: Dazu betrachte man h ( x) = f ( x) - g ( x) = 4 e - 0. 5 x + 2 x - 8 e, es folgt h ′ ( x) = - 2 e - 0. 5 x + 2 e. h ′ ′ ( x) = e - 0. 5 x. Dann besitzt h ′ ( x) als einzige Nullstelle x = 2, und wegen h ′ ′ ( 2) > 0 ist somit x = 2 einzige lokale und damit wegen lim x → ± ∞ h ( x) = ∞ zugleich auch globale Minimumstelle.
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